v · cubic graph of girth 3 and diameter 4. As well as its construction as the skeleton of Dürer's solid, it can be obtained by applying a Y-Δ transform to the opposite vertices of a cube graph, or as the generalized Petersen graph G(6,2). As with any graph of a convex polyhedron, the Dürer graph is a 3-vertex-connected simple planar graph.
The Dürer graph is a well-covered graph, meaning that all of its maximal independent sets have the same number of vertices, four. It is one of four well-covered cubic polyhedral graphs and one of seven well-covered 3-connected cubic graphs. The only other three well-covered simple convex polyhedra are the tetrahedron, triangular prism, and pentagonal prism.[4]
The Dürer graph is Hamiltonian, with LCF notation [-4,5,2,-4,-2,5;-].[5] More precisely, it has exactly six Hamiltonian cycles, each pair of which may be mapped into each other by a symmetry of the graph.[6]
Symmetries
The automorphism group both of the Dürer graph and of the Dürer solid (in either the truncated cube form or the form shown by Dürer) is isomorphic to the dihedral group of order 12 : D6.
Gallery
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The chromatic index of the Dürer graph is 3.
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The chromatic number of the Dürer graph is 3.
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The Dürer graph is Hamiltonian.
Notes
- ^ Weisstein, Eric W., "Dürer's Solid" from MathWorld.
- ^ Weber (1900). According to Lynch (1982), the contrary hypothesis that the shape is a misdrawn truncated cube was promoted by Strauss (1972).
- ^ See Weitzel (2004), from which most of the following history is drawn.
- ^ Campbell & Plummer (1988); Campbell, Ellingham & Royce (1993).
- ^ Castagna and Prins attribute the proof of Hamiltonicity of a class of generalized Petersen graphs that includes the Dürer graph to a 1968 Ph.D. thesis of G. N. Robertson at the University of Waterloo. See Castagna, Frank; Prins, Geert (1972), "Every Generalized Petersen Graph has a Tait Coloring", Pacific Journal of Mathematics 40 .
- ^ Schwenk, Allen J. (1989), "Enumeration of Hamiltonian cycles in certain generalized Petersen graphs", Journal of Combinatorial Theory, Series B 47 (1): 53–59, doi:10.1016/0095-8956(89)90064-6, MR1007713 .
References
- Campbell, S. R.; Ellingham, M. N.; Royle, Gordon F. (1993), "A characterisation of well-covered cubic graphs", Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing 13: 193–212, MR1220613 .
- Campbell, Stephen R.; Plummer, Michael D. (1988), "On well-covered 3-polytopes", Ars Combinatoria 25 (A): 215–242, MR942505 .
- Lynch, Terence (1982), "The geometric body in Dürer's engraving Melencolia I", Journal of the Warburg and Courtauld Institutes (The Warburg Institute) 45: 226–232, doi:10.2307/750979, JSTOR 750979 .
- MacGillavry, C. (1981), "The polyhedron in A. Dürers Melencolia I", Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. B 84: 287–294 . As cited by Weitzel (2004).
- Richter, D. H. (1957), "Perspektive und Proportionen in Albrecht Dürers “Melancholie”", Z. Vermessungswesen 82: 284–288 and 350–357 . As cited by Weitzel (2004).
- Schreiber, Peter (1999), "A new hypothesis on Dürer's enigmatic polyhedron in his copper engraving “Melencolia I”", Historia Mathematica 26: 369–377, doi:10.1006/hmat.1999.2245 .
- Schröder, E. (1980), Dürer, Kunst und Geometrie, Dürers künstlerisches Schaffen aus der Sicht seiner “Underweysung”, Basel . As cited by Weitzel (2004).
- Strauss, Walter L. (1972), The Complete Engravings of Dürer, New York, p. 168, ISBN 0486228517 . As cited by Lynch (1982).
- Weber, P. (1900), Beiträge zu Dürers Weltanschauung—Eine Studie über die drei Stiche Ritter, Tod und Teufel, Melancholie und Hieronymus im Gehäus, Strassburg . As cited by Weitzel (2004).
- Weitzel, Hans (2004), "A further hypothesis on the polyhedron of A. Dürer's engraving Melencolia I", Historia Mathematica 31 (1): 11–14, doi:10.1016/S0315-0860(03)00029-6 .
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- Polyhedra
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- Planar graphs
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