List of vector identities

This article lists a few helpful mathematical identities which are useful in vector algebra.

Triple products

*$vec\{A\}\; imes\; (vec\{B\}\; imes\; vec\{C\})\; =\; (vec\{C\}\; imes\; vec\{B\})\; imes\; vec\{A\}\; =\; vec\{B\}(vec\{A\}\; cdot\; vec\{C\})\; -\; vec\{C\}(vec\{A\}\; cdot\; vec\{B\})$
*$vec\{A\}cdot(vec\{B\}\; imes\; vec\{C\})\; =\; vec\{B\}cdot(vec\{C\}\; imes\; vec\{A\})\; =\; vec\{C\}cdot(vec\{A\}\; imes\; vec\{B\})$

these can be proved by giving arbitrary components to $A,$ $B,$ and $C,$

:$vec\{A\}\; =\; (a\_x,\; a\_y,\; a\_z)$

:$vec\{B\}\; =\; (b\_x,\; b\_y,\; b\_z)$

:$vec\{C\}\; =\; (c\_x,\; c\_y,\; c\_z)$

then finding the values of each statement, such as $vec\{B\}\; imes\; vec\{C\}$, in terms of the generic components will show that both sides of the equation are equal.

Other products

*$(vec\{A\}\; imes\; vec\{B\})\; cdot\; (vec\{A\}\; imes\; vec\{B\})\; =\; A^2\; B^2\; -\; (vec\{A\}\; cdot\; vec\{B\})^2\; =\; vec\{B\}\; cdot\; vec\{A\}\; imes\; (vec\{B\}\; imes\; vec\{A\})$ (note: this is another form of Lagrange's formula).

Product rules

*$vec\{\; abla\}\; (fg)\; =\; f(vec\{\; abla\}g)\; +\; g(vec\{\; abla\}\; f)$
*$vec\{\; abla\}(vec\{A\}\; cdot\; vec\{B\})\; =\; vec\{A\}\; imes\; (vec\{\; abla\}\; imes\; vec\{B\})+vec\{B\}\; imes\; (vec\{\; abla\}\; imes\; vec\{A\})+(vec\{A\}\; cdot\; vec\{\; abla\})vec\{B\}+(vec\{B\}\; cdot\; vec\{\; abla\})vec\{A\}$
*$vec\{\; abla\}\; cdot\; (fvec\{A\})=f(vec\{\; abla\}\; cdot\; vec\{A\})+vec\{A\}\; cdot\; (vec\{\; abla\}\; f)$
*$vec\{\; abla\}\; cdot\; (vec\{A\}\; imes\; vec\{B\})=vec\{B\}\; cdot\; (vec\{\; abla\}\; imes\; vec\{A\})-vec\{A\}\; cdot\; (vec\{\; abla\}\; imes\; vec\{B\})$
*$abla\; imes\; (vec\{A\}\; imesvec\{B\})=\; (vec\{B\}cdot\; abla)\; vec\{A\}-(vec\{A\}cdot\; abla)vec\{B\}\; +\; vec\{A\}\; (\; ablacdotvec\{B\})\; -\; vec\{B\}(\; ablacdotvec\{A\})$
*$abla\; imes\; (vec\{A\}\; imesvec\{B\})=\; vec\{A\}\; imes\; (\; abla\; imesvec\{B\})\; -\; vec\{B\}\; imes\; (\; abla\; imesvec\{A\})\; -\; (vec\{A\}\; imes\; abla)\; imes\; vec\{B\}\; +\; (vec\{B\}\; imes\; abla)\; imes\; vec\{A\}$
*$abla\; imes\; (fvec\{A\})=f(\; abla\; imesvec\{A\})+(\; abla\; f)\; imesvec\{A\}$

Green's first identity

*$vec\{\; abla\}\; cdot\; left(\; f\; vec\{\; abla\}\; f\; ight)\; =\; f\; vec\{\; abla\}\; cdot\; left(\; vec\{\; abla\}\; f\; ight)\; +\; left(\; vec\{\; abla\}\; f\; cdot\; vec\{\; abla\}\; f\; ight)\; =\; f\; abla^2\; f\; +\; left(\; vec\{\; abla\}\; f\; cdot\; vec\{\; abla\}\; f\; ight)$
therefore
$f\; abla^2\; f\; =\; vec\{\; abla\}\; cdot\; left(\; f\; vec\{\; abla\}\; f\; ight)\; -\; left(\; vec\{\; abla\}\; f\; cdot\; vec\{\; abla\}\; f\; ight)$

Fundamental theorems

Divergence theorem
*$int\_\{V\}\; (vec\{\; abla\}\; cdot\; vec\{A\})\; ,dv\; =\; oint\_\{S\}\; vec\{A\}\; cdot\; dvec\{a\}$

Stokes' theorem
*$int\_\{S\}\; (\; abla\; imes\; vec\{A\})\; cdot\; dvec\{a\}\; =\; oint\_\{C\}\; vec\{A\}\; cdot\; dvec\{l\}$

ee also

* List of mathematical identities
* Vector calculus identities