Galois extension

Galois extension

In mathematics, a Galois extension is an algebraic field extension "E"/"F" satisfying certain conditions (described below); one also says that the extension is Galois. The significance of being a Galois extension is that the extension has a Galois group and obeys the fundamental theorem of Galois theory.

The definition is as follows. An extension is Galois if it is normal and separable. Equivalently, the extension "E"/"F" is Galois if and only if it is algebraic, and the field fixed by the automorphism group Aut("E"/"F") is precisely the base field "F". (See the article Galois group for definitions of some of these terms and some examples.)

A result of Emil Artin allows one to construct Galois extensions as follows. If "E" is a given field, and "G" is a finite group of automorphisms of "E", then "E"/"F" is a Galois extension, where "F" is the fixed field of "G".

Characterization of Galois extensions

An important theorem of Emil Artin states that for a finite extension "E"/"F", each of the following statements is equivalent to the statement that "E"/"F" is Galois:
* "E"/"F" is a normal extension and a separable extension.
* "E" is the splitting field of a separable polynomial with coefficients in "F".
* [E:F] = |Aut(E/F)|; that is, the degree of the field extension is equal to the order of the automorphism group of E/F.


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