List of integrals of logarithmic functions

The following is a list of integrals (antiderivative functions) of logarithmic functions. For a complete list of integral functions, see list of integrals.

"Note:" "x">0 is assumed throughout this article.

: $intln\; cx;dx\; =\; xln\; cx\; -\; x$

: $intln\; (ax\; +\; b);dx\; =\; frac\{(ax+b)ln(ax+b)\; -\; (ax+b)\}\{a\}$

: $int\; (ln\; x)^2;\; dx\; =\; x(ln\; x)^2\; -\; 2xln\; x\; +\; 2x$

: $int\; (ln\; x)^n;\; dx\; =\; xsum^\{n\}\_\{k=0\}(-1)^k\; frac\{n!ln^\{n-k\}x\}\{(n-k)!\}$

: $int\; frac\{dx\}\{ln\; x\}\; =\; ln|ln\; x|\; +\; ln\; x\; +\; sum^infty\_\{k=2\}frac\{(ln\; x)^k\}\{kcdot\; k!\}$

: $int\; frac\{dx\}\{(ln\; x)^n\}\; =\; -frac\{x\}\{(n-1)(ln\; x)^\{n-1\; +\; frac\{1\}\{n-1\}intfrac\{dx\}\{(ln\; x)^\{n-1\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\}$

: $int\; x^mln\; x;dx\; =\; x^\{m+1\}left(frac\{ln\; x\}\{m+1\}-frac\{1\}\{(m+1)^2\}\; ight)\; qquadmbox\{(for\; \}m\; eq\; -1mbox\{)\}$

: $int\; x^m\; (ln\; x)^n;\; dx\; =\; frac\{x^\{m+1\}(ln\; x)^n\}\{m+1\}\; -\; frac\{n\}\{m+1\}int\; x^m\; (ln\; x)^\{n-1\}\; dx\; qquadmbox\{(for\; \}m\; eq\; -1mbox\{)\}$

: $int\; frac\{(ln\; x)^n;\; dx\}\{x\}\; =\; frac\{(ln\; x)^\{n+1\{n+1\}\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; -1mbox\{)\}$

: $int\; frac\{ln\{x^n\};dx\}\{x\}\; =\; frac\{(ln\{x^n\})^2\}\{2n\}\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 0mbox\{)\}$

: $int\; frac\{ln\; x,dx\}\{x^m\}\; =\; -frac\{ln\; x\}\{(m-1)x^\{m-1-frac\{1\}\{(m-1)^2\; x^\{m-1\; qquadmbox\{(for\; \}m\; eq\; 1mbox\{)\}$

: $int\; frac\{(ln\; x)^n;\; dx\}\{x^m\}\; =\; -frac\{(ln\; x)^n\}\{(m-1)x^\{m-1\; +\; frac\{n\}\{m-1\}intfrac\{(ln\; x)^\{n-1\}\; dx\}\{x^m\}\; qquadmbox\{(for\; \}m\; eq\; 1mbox\{)\}$

: $int\; frac\{x^m;\; dx\}\{(ln\; x)^n\}\; =\; -frac\{x^\{m+1\{(n-1)(ln\; x)^\{n-1\; +\; frac\{m+1\}\{n-1\}intfrac\{x^m\; dx\}\{(ln\; x)^\{n-1\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\}$

: $int\; frac\{dx\}\{xln\; x\}\; =\; ln\; left|ln\; x\; ight|$

: $int\; frac\{dx\}\{x^nln\; x\}\; =\; ln\; left|ln\; x\; ight|\; +\; sum^infty\_\{k=1\}\; (-1)^kfrac\{(n-1)^k(ln\; x)^k\}\{kcdot\; k!\}$

: $int\; frac\{dx\}\{x\; (ln\; x)^n\}\; =\; -frac\{1\}\{(n-1)(ln\; x)^\{n-1\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\}$

: $int\; ln(x^2+a^2);\; dx\; =\; xln(x^2+a^2)-2x+2a\; an^\{-1\}\; frac\{x\}\{a\}$

: $int\; frac\{x\}\{x^2+a^2\}ln(x^2+a^2);\; dx\; =\; frac\{1\}\{4\}\; ln^2(x^2+a^2)$

: $int\; sin\; (ln\; x);dx\; =\; frac\{x\}\{2\}(sin\; (ln\; x)\; -\; cos\; (ln\; x))$

: $int\; cos\; (ln\; x);dx\; =\; frac\{x\}\{2\}(sin\; (ln\; x)\; +\; cos\; (ln\; x))$

: $int\; e^x\; left(x\; ln\; x\; -\; x\; -\; frac\{1\}\{x\}\; ight);dx\; =\; e^x\; (x\; ln\; x\; -\; x\; -\; ln\; x)$

: $int\; frac\{1\}\{e^x\}\; left(\; frac\{1\}\{x\}-ln\; x\; ight);dx\; =\; frac\{ln\; x\}\{e^x\}$

: $int\; e^x\; left(\; frac\{1\}\{ln\; x\}-\; frac\{1\}\{xln^2\; x\}\; ight);dx\; =\; frac\{e^x\}\{ln\; x\}$

References

* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, "Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables", 1964. A few integrals are listed on [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_69.htm page 69] in this classic book.