List of integrals of exponential functions

The following is a list of integrals (antiderivative functions) of exponential functions. For a complete list of Integral functions, please see the list of integrals.

"Note that x can be substituted for u, or any other variable, so long as the differential matches."

: $int\; e^\{cx\};mathrm\{d\}x\; =\; frac\{1\}\{c\}\; e^\{cx\}$

: $int\; a^\{cx\};mathrm\{d\}x\; =\; frac\{1\}\{ccdot\; ln\; a\}\; a^\{cx\}$ for $a\; >\; 0,\; a\; e\; 1$

: $int\; xe^\{cx\};\; mathrm\{d\}x\; =\; frac\{e^\{cx\{c^2\}(cx-1)$

: $int\; x^2\; e^\{cx\};mathrm\{d\}x\; =\; e^\{cx\}left(frac\{x^2\}\{c\}-frac\{2x\}\{c^2\}+frac\{2\}\{c^3\}\; ight)$

: $int\; x^n\; e^\{cx\};\; mathrm\{d\}x\; =\; frac\{1\}\{c\}\; x^n\; e^\{cx\}\; -\; frac\{n\}\{c\}int\; x^\{n-1\}\; e^\{cx\}\; mathrm\{d\}x$

: $intfrac\{e^\{cx\{x\};\; mathrm\{d\}x\; =\; ln|x|\; +sum\_\{n=1\}^inftyfrac\{(cx)^n\}\{ncdot\; n!\}$

: $intfrac\{e^\{cx\{x^n\};\; mathrm\{d\}x\; =\; frac\{1\}\{n-1\}left(-frac\{e^\{cx\{x^\{n-1+cintfrac\{e^\{cx\}\; \}\{x^\{n-1,mathrm\{d\}x\; ight)\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\}$

: $int\; e^\{cx\}ln\; x;\; mathrm\{d\}x\; =\; frac\{1\}\{c\}e^\{cx\}ln|x|-operatorname\{Ei\},(cx)$

: $int\; e^\{cx\}sin\; bx;\; mathrm\{d\}x\; =\; frac\{e^\{cx\{c^2+b^2\}(csin\; bx\; -\; bcos\; bx)$

: $int\; e^\{cx\}cos\; bx;\; mathrm\{d\}x\; =\; frac\{e^\{cx\{c^2+b^2\}(ccos\; bx\; +\; bsin\; bx)$

: $int\; e^\{cx\}sin^n\; x;\; mathrm\{d\}x\; =\; frac\{e^\{cx\}sin^\{n-1\}\; x\}\{c^2+n^2\}(csin\; x-ncos\; x)+frac\{n(n-1)\}\{c^2+n^2\}int\; e^\{cx\}sin^\{n-2\}\; x;mathrm\{d\}x$

: $int\; e^\{cx\}cos^n\; x;\; mathrm\{d\}x\; =\; frac\{e^\{cx\}cos^\{n-1\}\; x\}\{c^2+n^2\}(ccos\; x+nsin\; x)+frac\{n(n-1)\}\{c^2+n^2\}int\; e^\{cx\}cos^\{n-2\}\; x;mathrm\{d\}x$

:$int\; x\; e^\{c\; x^2\; \};\; mathrm\{d\}x=\; frac\{1\}\{2c\}\; ;\; e^\{c\; x^2\}$

:$int\; e^\{-c\; x^2\; \};\; mathrm\{d\}x=\; sqrt\{frac\{pi\}\{4c\; mbox\{erf\}(sqrt\{c\}\; x)$ ($mbox\{erf\}$ is the Error function)

:$int\; xe^\{-c\; x^2\; \};\; mathrm\{d\}x=-frac\{1\}\{2c\}e^\{-cx^2\}$

:$int\; \{1\; over\; sigmasqrt\{2pi\}\; \},e^\{-\{(x-mu\; )^2\; /\; 2sigma^2;\; mathrm\{d\}x=\; frac\{1\}\{2\}\; (1\; +\; mbox\{erf\},frac\{x-mu\}\{sigma\; sqrt\{2)$

:$int\; e^\{x^2\},mathrm\{d\}x\; =\; e^\{x^2\}left(\; sum\_\{j=0\}^\{n-1\}c\_\{2j\},frac\{1\}\{x^\{2j+1\; ight\; )+(2n-1)c\_\{2n-2\}\; int\; frac\{e^\{x^2\{x^\{2n;mathrm\{d\}x\; quad\; mbox\{valid\; for\; \}\; n\; >\; 0,$::where $c\_\{2j\}=frac\{\; 1\; cdot\; 3\; cdot\; 5\; cdots\; (2j-1)\}\{2^\{j+1=frac\{(2j),!\}\{j!,\; 2^\{2j+1\; .$

:$int\; \{\_\{underbrace\{x^\{x^\{cdot^\{cdot^\{x\; atop\; \_m\}\; dx=\; sum\_\{n=0\}^mfrac\{(-1)^n(n+1)^\{n-1\{n!\}Gamma(n+1,-\; ln\; x)\; +\; sum\_\{n=m+1\}^infty(-1)^na\_\{mn\}Gamma(n+1,-ln\; x)\; qquadmbox\{(for\; \}x>\; 0mbox\{)\}$ [Mathworld|PowerTower|Power Tower] :: where

Definite integrals

: $int\_0^1\; e^\{xcdot\; ln\; a\; +\; (1-x)cdot\; ln\; b\};mathrm\{d\}x\; =\; int\_0^1\; left(frac\{a\}\{b\}\; ight)^\{x\}cdot\; b;mathrm\{d\}x\; =\; int\_0^1\; a^\{x\}cdot\; b^\{1-x\};mathrm\{d\}x\; =\; frac\{a-b\}\{ln\; a\; -\; ln\; b\}$ for $a\; >\; 0,\; b\; >\; 0,\; a\; e\; b$, which is the logarithmic mean

:$int\_\{0\}^\{infty\}\; e^\{-ax\},mathrm\{d\}x=frac\{1\}\{a\}$

:$int\_\{0\}^\{infty\}\; e^\{-ax^2\},mathrm\{d\}x=frac\{1\}\{2\}\; sqrt\{pi\; over\; a\}\; quad\; (a>0)$ (the Gaussian integral)

:$int\_\{-infty\}^\{infty\}\; e^\{-ax^2\},mathrm\{d\}x=sqrt\{pi\; over\; a\}\; quad\; (a>0)$

:$int\_\{-infty\}^\{infty\}\; e^\{-ax^2\}\; e^\{-2bx\},mathrm\{d\}x=sqrt\{frac\{pi\}\{ae^\{frac\{b^2\}\{a\; quad\; (a>0)$

:$int\_\{-infty\}^\{infty\}\; x\; e^\{-a(x-b)^2\},mathrm\{d\}x=\; b\; sqrt\{frac\{pi\}\{a$

:$int\_\{-infty\}^\{infty\}\; x^2\; e^\{-ax^2\},mathrm\{d\}x=frac\{1\}\{2\}\; sqrt\{pi\; over\; a^3\}\; quad\; (a>0)$

: (!! is the double factorial)

:

:$int\_\{0\}^\{infty\}\; e^\{-ax\}sin\; bx\; ,\; mathrm\{d\}x\; =\; frac\{b\}\{a^2+b^2\}\; quad\; (a>0)$

:$int\_\{0\}^\{infty\}\; e^\{-ax\}cos\; bx\; ,\; mathrm\{d\}x\; =\; frac\{a\}\{a^2+b^2\}\; quad\; (a>0)$

:$int\_\{0\}^\{infty\}\; xe^\{-ax\}sin\; bx\; ,\; mathrm\{d\}x\; =\; frac\{2ab\}\{(a^2+b^2)^2\}\; quad\; (a>0)$

:$int\_\{0\}^\{infty\}\; xe^\{-ax\}cos\; bx\; ,\; mathrm\{d\}x\; =\; frac\{a^2-b^2\}\{(a^2+b^2)^2\}\; quad\; (a>0)$

:$int\_\{0\}^\{2\; pi\}\; e^\{x\; cos\; heta\}\; d\; heta\; =\; 2\; pi\; I\_\{0\}(x)$ ($I\_\{0\}$ is the modified Bessel function of the first kind)

:$int\_\{0\}^\{2\; pi\}\; e^\{x\; cos\; heta\; +\; y\; sin\; heta\}\; d\; heta\; =\; 2\; pi\; I\_\{0\}\; left(\; sqrt\{x^2\; +\; y^2\}\; ight)$

References