Cardioid/Proofs

Theorem

The curve defined by the parametric equations

:$x(t)\; =\; 2\; r\; left(\; cos\; t\; -\{1\; over\; 2\}\; cos\; 2\; t\; ight),\; qquad\; qquad\; (1)$

:$y(t)\; =\; 2\; r\; left(\; sin\; t\; -\; \{1\; over\; 2\}\; sin\; 2\; t\; ight)\; qquad\; qquad\; (2)$

has the same shape as the curve defined in polar coordinates by the equation

:$ho(\; heta)\; =\; 2r(1\; -\; cos\; heta).$

Proof

Starting from $ho(\; heta)\; =\; 2r(1\; -\; cos\; heta)$, and using the polar to cartesian formulas:$x\; =\; ho(\; heta)\; cos(\; heta)\; ,$:$y\; =\; ho(\; heta)\; sin(\; heta)\; ,$and double angle formulas we get the cartesian parametric equations:

:$x\; =\; 2r\; (1-\; cos\; heta)\; cos\; heta\; =\; 2r\; (cos\; heta\; -\; cos^2\; heta)\; =\; 2r\; left(\; cos\; heta\; -\; frac\{1+cos\; 2\; heta\}\{2\}\; ight)\; =\; 2r\; left(\; cos\; heta\; -\; frac\{1\}\{2\}\; cos\; 2\; heta\; ight)\; -r\; ,$

:$y\; =\; 2r\; (1-\; cos\; heta)\; sin\; heta\; =\; 2r(sin\; heta\; -\; sin\; heta\; cos\; heta)\; =\; 2r\; left(\; sin\; heta\; -\; frac\{1\}\{2\}\; sin\; 2\; heta\; ight),$

Simply replacing $heta$ with t yields equations (1) and (2), with a shift to the left by r.

Another proof

Equations (1) and (2) define a cardioid whose cuspidal point is (r, 0). To convert to polar, the cusp should preferably be at the origin, so subtract $r$ from the abscissa. Replacing $t$ by $heta$ yields

:$x(\; heta)\; =\; 2r\; left(\; -\{1\; over\; 2\}\; +\; cos\; heta\; -\; \{1\; over\; 2\}\; cos\; 2\; heta\; ight)\; ,$

:$y(\; heta)\; =\; 2r\; left(\; sin\; heta\; -\; \{1\; over\; 2\}\; sin\; 2\; heta\; ight)\; .$

The polar radius $ho(\; heta)$ is given by

:$ho(\; heta)\; =\; sqrt\{x^2(\; heta)\; +\; y^2(\; heta)\}$::$=\; 2r\; sqrt\{left(\; -\{1\; over\; 2\}\; +\; cos\; heta\; -\; \{1\; over\; 2\}\; cos\; 2\; heta\; ight)^2\; +\; left(\; sin\; heta\; -\; \{1\; over\; 2\}\; sin\; 2\; heta\; ight)^2\; \}.$

Expanding this yields

:$ho\; =\; 2r\; sqrt\{\; \{1\; over\; 4\}\; +\; cos^2\; heta\; +\; \{1\; over\; 4\}\; cos^2\; 2\; heta\; -\; cos\; heta\; +\; \{1\; over\; 2\}\; cos\; 2\; heta\; -\; cos\; heta\; cos\; 2\; heta\; +\; sin^2\; heta\; +\; \{1\; over\; 4\}\; sin^2\; 2\; heta\; -\; sin\; heta\; sin\; 2\; heta\}.$We can simplify this by noticing that:$cos^2\; heta\; +\; sin^2\; heta\; =\; 1,\; qquad\; qquad\; mbox\{(trigonometric\; identity)\}$

:$\{1\; over\; 4\}\; cos^2\; 2\; heta\; +\; \{1\; over\; 4\}\; sin^2\; 2\; heta\; =\; \{1\; over\; 4\},\; qquad\; qquad\; mbox\{(variation\; of\; the\; above)\}$

and

:$cos\; heta\; cos\; 2\; heta\; +\; sin\; heta\; sin\; 2\; heta\; =\; cos\; (\; heta\; -\; 2\; heta)\; =\; cos\; -\; heta\; =\; cos\; heta.$

Thus,

:$ho\; =\; 2r\; sqrt\{\; \{1\; over\; 4\}\; +\; 1\; +\; \{1\; over\; 4\}\; -\; 2\; cos\; heta\; +\; \{1\; over\; 2\}\; cos\; 2\; heta\; \}$

::$=\; 2r\; sqrt\{\; \{3\; over\; 2\}\; -\; \{4\; over\; 2\}\; cos\; heta\; +\; \{1\; over\; 2\}\; cos\; 2\; heta\; \}$

::$=\; 2r\; sqrt\{\; \{3\; -\; 4\; cos\; heta\; +\; cos\; 2\; heta\; over\; 2.$

Then, since

:$cos\; 2\; heta\; =\; cos^2\; heta\; -\; sin^2\; heta\; =\; 2\; cos^2\; heta\; -\; 1,\; qquad\; qquad\; mbox\{(trigonometric\; identity)\}$

it follows that

:$ho\; =\; 2r\; sqrt\{\; \{3\; -\; 4\; cos\; heta\; +\; 2\; cos^2\; heta\; -\; 1\; over\; 2\; =\; 2r\; sqrt\{\; \{2\; -\; 4\; cos\; heta\; +\; 2\; cos^2\; heta\; over\; 2,$

:$ho\; =\; 2r\; sqrt\{\; 1\; -\; 2\; cos\; heta\; +\; cos^2\; heta\}\; =\; 2r(1\; -\; cos\; heta).$

Area derivation

The objective is to integrate the area of the cardioid whose equation in polar coordinates is:$r\; =\; 1\; -\; cos\; heta\; .\; ,!$The integral is:$A\; =\; iint\; dA\; =\; int\_0^\{2pi\}\; int\_0^\{(1\; -\; cos\; heta)\}\; r\; ,\; dr\; ,\; d\; heta$.Integration with respect to "dr" yields:Distribute the integral among the three terms, and integrate the first two, to obtain:$A\; =\; \{1\; over\; 2\}\; left\{\; [\; heta]\; \_0^\{2pi\}\; -\; 2\; [sin\; heta]\; \_0^\{2pi\}\; +\; int\_0^\{2pi\}\; cos^2\; heta\; ,\; d\; heta\; ight\}.$The second term vanishes, and integrating the third term yields:The last term within brackets vanishes, so that

::$A\; =\; pi\; +\; \{1\; over\; 2\}pi\; =\; \{3\; over\; 2\}pi.$

Cardioids of any size are all similar to each other, so increasing the cardioid's linear size by a factor of "a" increases the cardioid's areal size by a factor of "a"², "Q.E.D." ("return to article")