Cahen's constant

Cahen's constant

In mathematics, Cahen's constant is defined as an infinite series of unit fractions, with alternating signs, derived from Sylvester's sequence::C = sumfrac{(-1)^i}{s_i-1}=frac11 - frac12 + frac16 - frac1{42} + frac1{1806} - cdotsapprox 0.64341054629.By considering these fractions in pairs, we can also view Cahen's constant as a series of positive unit fractions formed from the terms in even positions of Sylvester's sequence; this series for Cahen's constant forms its greedy Egyptian expansion::C = sumfrac{1}{s_{2i=frac12+frac17+frac1{1807}+frac1{10650056950807}+cdotsThis constant is named after Eugène Cahen (also known for the Cahen-Mellin integral), who first formulated and investigated its series (Cahen 1891).

Cahen's constant is known to be transcendental (Davison and Shallit 1991). It is notable as being one of a small number of naturally occurring transcendental numbers for which we know the complete continued fraction expansion: if we form the sequence:1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... OEIS|id=A006279defined by the recurrence:q_{n+2} = q_n^2 q_{n+1} + q_nthen the continued fraction expansion of Cahen's constant is: [0,1,q_0^2,q_1^2,q_2^2,ldots] (Davison and Shallit 1991).

References

* cite journal
author = Cahen, Eugène
title = Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues
journal = Nouvelles Annales de Mathématiques
volume = 10
year = 1891
pages = 508–514

* cite journal
author = Davison, J. Les; Shallit, Jeffrey O.
title = Continued fractions for some alternating series
journal = Monatshefte für Mathematik
volume = 111
year = 1991
pages = 119–126
doi = 10.1007/BF01332350

External links

* cite web
author = Weisstein, Eric W
authorlink = Eric W. Weisstein
title = Cahen's Constant
publisher = MathWorld–A Wolfram Web Resource
url = http://mathworld.wolfram.com/CahensConstant.html

* cite web
title = The Cahen constant to 4000 digits
url = http://pi.lacim.uqam.ca/piDATA/cahen.txt


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