Legendre's equation

Legendre's equation

In mathematics, Legendre's equation is the Diophantine equation

:ax^2+by^2+cz^2=0.

The equation is named for Adrien Marie Legendre who proved in 1785 that it is solvable in integers "x", "y", "z", not all zero, if and only if−"bc", −"ca" and −"ab" are quadratic residues modulo "a", "b" and "c", respectively, where "a", "b", "c" are nonzero, squarefree, pairwise relatively prime integers, not all positive or all negative .

References

* L. E. Dickson, "History of the Theory of Numbers. Vol.II: Diophantine Analysis", Chelsea Publishing, 1971, ISBN 0-8284-0086-5. Chap.XIII, p.422.
* J.E. Cremona and D. Rusin, "Efficient solution of rational conics", Math. Comp., 72 (2003) pp.1417-1441. [http://www.warwick.ac.uk/staff/J.E.Cremona/papers/conics.pdf]


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