List of integrals of hyperbolic functions

The following is a list of integrals (antiderivative functions) of hyperbolic functions. For a complete list of Integral functions, see list of integrals.

In all formulas the constant "a" is assumed to be nonzero, and "C"denotes the constant of integration.

: $intsinh\; ax,dx\; =\; frac\{1\}\{a\}cosh\; ax+C,$

: $intcosh\; ax,dx\; =\; frac\{1\}\{a\}sinh\; ax+C,$

: $intsinh^2\; ax,dx\; =\; frac\{1\}\{4a\}sinh\; 2ax\; -\; frac\{x\}\{2\}+C,$

: $intcosh^2\; ax,dx\; =\; frac\{1\}\{4a\}sinh\; 2ax\; +\; frac\{x\}\{2\}+C,$

: $int\; anh^2\; ax,dx\; =\; x\; -\; frac\{\; anh\; ax\}\{a\}+C,$

: $intsinh^n\; ax,dx\; =\; frac\{1\}\{an\}sinh^\{n-1\}\; axcosh\; ax\; -\; frac\{n-1\}\{n\}intsinh^\{n-2\}\; ax,dx\; qquadmbox\{(for\; \}n>0mbox\{)\},$

: also:

: $intcosh^n\; ax,dx\; =\; frac\{1\}\{an\}sinh\; axcosh^\{n-1\}\; ax\; +\; frac\{n-1\}\{n\}intcosh^\{n-2\}\; ax,dx\; qquadmbox\{(for\; \}n>0mbox\{)\},$

: also:

: $intfrac\{dx\}\{sinh\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{a\}\; lnleft|\; anhfrac\{ax\}\{2\}\; ight|+C,$

: also: $intfrac\{dx\}\{sinh\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{a\}\; lnleft|frac\{cosh\; ax\; -\; 1\}\{sinh\; ax\}\; ight|+C,$

: also: $intfrac\{dx\}\{sinh\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{a\}\; lnleft|frac\{sinh\; ax\}\{cosh\; ax\; +\; 1\}\; ight|+C,$

: also: $intfrac\{dx\}\{sinh\; ax\}\; =\; frac\{1\}\{a\}\; lnleft|frac\{cosh\; ax\; -\; 1\}\{cosh\; ax\; +\; 1\}\; ight|+C,$

: $intfrac\{dx\}\{cosh\; ax\}\; =\; frac\{2\}\{a\}\; arctan\; e^\{ax\}+C,$

: $intfrac\{dx\}\{sinh^n\; ax\}\; =\; frac\{cosh\; ax\}\{a(n-1)sinh^\{n-1\}\; ax\}-frac\{n-2\}\{n-1\}intfrac\{dx\}\{sinh^\{n-2\}\; ax\}\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\},$

: $intfrac\{dx\}\{cosh^n\; ax\}\; =\; frac\{sinh\; ax\}\{a(n-1)cosh^\{n-1\}\; ax\}+frac\{n-2\}\{n-1\}intfrac\{dx\}\{cosh^\{n-2\}\; ax\}\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\},$

: $intfrac\{cosh^n\; ax\}\{sinh^m\; ax\}\; dx\; =\; frac\{cosh^\{n-1\}\; ax\}\{a(n-m)sinh^\{m-1\}\; ax\}\; +\; frac\{n-1\}\{n-m\}intfrac\{cosh^\{n-2\}\; ax\}\{sinh^m\; ax\}\; dx\; qquadmbox\{(for\; \}m\; eq\; nmbox\{)\},$

: also: $intfrac\{cosh^n\; ax\}\{sinh^m\; ax\}\; dx\; =\; -frac\{cosh^\{n+1\}\; ax\}\{a(m-1)sinh^\{m-1\}\; ax\}\; +\; frac\{n-m+2\}\{m-1\}intfrac\{cosh^n\; ax\}\{sinh^\{m-2\}\; ax\}\; dx\; qquadmbox\{(for\; \}m\; eq\; 1mbox\{)\},$

: also: $intfrac\{cosh^n\; ax\}\{sinh^m\; ax\}\; dx\; =\; -frac\{cosh^\{n-1\}\; ax\}\{a(m-1)sinh^\{m-1\}\; ax\}\; +\; frac\{n-1\}\{m-1\}intfrac\{cosh^\{n-2\}\; ax\}\{sinh^\{m-2\}\; ax\}\; dx\; qquadmbox\{(for\; \}m\; eq\; 1mbox\{)\},$

: $intfrac\{sinh^m\; ax\}\{cosh^n\; ax\}\; dx\; =\; frac\{sinh^\{m-1\}\; ax\}\{a(m-n)cosh^\{n-1\}\; ax\}\; +\; frac\{m-1\}\{m-n\}intfrac\{sinh^\{m-2\}\; ax\}\{cosh^n\; ax\}\; dx\; qquadmbox\{(for\; \}m\; eq\; nmbox\{)\},$

: also: $intfrac\{sinh^m\; ax\}\{cosh^n\; ax\}\; dx\; =\; frac\{sinh^\{m+1\}\; ax\}\{a(n-1)cosh^\{n-1\}\; ax\}\; +\; frac\{m-n+2\}\{n-1\}intfrac\{sinh^m\; ax\}\{cosh^\{n-2\}\; ax\}\; dx\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\},$

: also: $intfrac\{sinh^m\; ax\}\{cosh^n\; ax\}\; dx\; =\; -frac\{sinh^\{m-1\}\; ax\}\{a(n-1)cosh^\{n-1\}\; ax\}\; +\; frac\{m-1\}\{n-1\}intfrac\{sinh^\{m\; -2\}\; ax\}\{cosh^\{n-2\}\; ax\}\; dx\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\},$

: $int\; xsinh\; ax,dx\; =\; frac\{1\}\{a\}\; xcosh\; ax\; -\; frac\{1\}\{a^2\}sinh\; ax+C,$

: $int\; xcosh\; ax,dx\; =\; frac\{1\}\{a\}\; xsinh\; ax\; -\; frac\{1\}\{a^2\}cosh\; ax+C,$

: $int\; x^2\; cosh\; ax,dx\; =\; -frac\{2x\; cosh\; ax\}\{a^2\}\; +\; left(frac\{x^2\}\{a\}+frac\{2\}\{a^3\}\; ight)\; sinh\; ax+C,$

: $int\; anh\; ax,dx\; =\; frac\{1\}\{a\}ln|cosh\; ax|+C,$

: $int\; coth\; ax,dx\; =\; frac\{1\}\{a\}ln|sinh\; ax|+C,$

: $int\; anh^n\; ax,dx\; =\; -frac\{1\}\{a(n-1)\}\; anh^\{n-1\}\; ax+int\; anh^\{n-2\}\; ax,dx\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\},$

: $int\; coth^n\; ax,dx\; =\; -frac\{1\}\{a(n-1)\}coth^\{n-1\}\; ax+intcoth^\{n-2\}\; ax,dx\; qquadmbox\{(for\; \}n\; eq\; 1mbox\{)\},$

: $int\; sinh\; ax\; sinh\; bx,dx\; =\; frac\{1\}\{a^2-b^2\}\; (asinh\; bx\; cosh\; ax\; -\; bcosh\; bx\; sinh\; ax)+C\; qquadmbox\{(for\; \}a^2\; eq\; b^2mbox\{)\},$

: $int\; cosh\; ax\; cosh\; bx,dx\; =\; frac\{1\}\{a^2-b^2\}\; (asinh\; ax\; cosh\; bx\; -\; bsinh\; bx\; cosh\; ax)+C\; qquadmbox\{(for\; \}a^2\; eq\; b^2mbox\{)\},$

: $int\; cosh\; ax\; sinh\; bx,dx\; =\; frac\{1\}\{a^2-b^2\}\; (asinh\; ax\; sinh\; bx\; -\; bcosh\; ax\; cosh\; bx)+C\; qquadmbox\{(for\; \}a^2\; eq\; b^2mbox\{)\},$

: $int\; sinh\; (ax+b)sin\; (cx+d),dx\; =\; frac\{a\}\{a^2+c^2\}cosh(ax+b)sin(cx+d)-frac\{c\}\{a^2+c^2\}sinh(ax+b)cos(cx+d)+C,$

: $int\; sinh\; (ax+b)cos\; (cx+d),dx\; =\; frac\{a\}\{a^2+c^2\}cosh(ax+b)cos(cx+d)+frac\{c\}\{a^2+c^2\}sinh(ax+b)sin(cx+d)+C,$

: $int\; cosh\; (ax+b)sin\; (cx+d),dx\; =\; frac\{a\}\{a^2+c^2\}sinh(ax+b)sin(cx+d)-frac\{c\}\{a^2+c^2\}cosh(ax+b)cos(cx+d)+C,$

: $int\; cosh\; (ax+b)cos\; (cx+d),dx\; =\; frac\{a\}\{a^2+c^2\}sinh(ax+b)cos(cx+d)+frac\{c\}\{a^2+c^2\}cosh(ax+b)sin(cx+d)+C,$