Berger's sphere

Berger's sphere

In Riemannian geometry, a Berger sphere, named after Marcel Berger, is a standard 3-sphere with Riemannian metric from a one-parameter family, which can be obtained from the standard metric by shrinking along fibers of a Hopf fibration. It is interesting in that it is one of the simplest examples of Gromov collapse.

More precisely, one first considers the Lie algebra spanned by generators "x"1, "x"2, "x"3 with Lie bracket ["x""i","x""j"] = −2ε"ijk""x""k". This is well known to correspond to the simply connected Lie group "S"3. Then, taking the product "S"3×R, extending the Lie bracket so that the generator "x"4 is left invariant under the operation of the Lie group, and taking the quotient by α"x"1+β"x"4, where α2+β2 = 1, we finally obtain the Berger spheres "B"(β).

There are also higher dimensional analogues of Berger spheres.


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Look at other dictionaries:

  • Sphere — Sphère Pour les articles homonymes, voir Sphère (homonymie). Une sphère dans un espace euclidien En géométrie euclidienne, une sphère es …   Wikipédia en Français

  • Berger-Kazdan comparison theorem — In mathematics, the Berger Kazdan comparison theorem is a result in Riemannian geometry that gives a lower bound on the volume of a Riemannian manifold and also gives a necessary and sufficient condition for the manifold to be isometric to the m… …   Wikipedia

  • Sphère — Pour les articles homonymes, voir Sphère (homonymie). Une sphère dans un espace euclidien …   Wikipédia en Français

  • Sphere theorem — This article is about sphere theorem for Riemannian manifolds. For a different result by the same name, see Sphere theorem (3 manifolds). In Riemannian geometry, the sphere theorem, also known as the quarter pinched sphere theorem, strongly… …   Wikipedia

  • Equation sphere — Sphère Pour les articles homonymes, voir Sphère (homonymie). Une sphère dans un espace euclidien En géométrie euclidienne, une sphère es …   Wikipédia en Français

  • List of mathematics articles (B) — NOTOC B B spline B* algebra B* search algorithm B,C,K,W system BA model Ba space Babuška Lax Milgram theorem Baby Monster group Baby step giant step Babylonian mathematics Babylonian numerals Bach tensor Bach s algorithm Bachmann–Howard ordinal… …   Wikipedia

  • Géosphère — Sphère Pour les articles homonymes, voir Sphère (homonymie). Une sphère dans un espace euclidien En géométrie euclidienne, une sphère es …   Wikipédia en Français

  • Sphères — Sphère Pour les articles homonymes, voir Sphère (homonymie). Une sphère dans un espace euclidien En géométrie euclidienne, une sphère es …   Wikipédia en Français

  • Sphèrique — Sphère Pour les articles homonymes, voir Sphère (homonymie). Une sphère dans un espace euclidien En géométrie euclidienne, une sphère es …   Wikipédia en Français

  • Sphérique — Sphère Pour les articles homonymes, voir Sphère (homonymie). Une sphère dans un espace euclidien En géométrie euclidienne, une sphère es …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”