# Laplace distribution

Laplace distribution

Probability distribution
name =Laplace
type =density
pdf_

cdf_

parameters =$mu,$ location (real)
$b > 0,$ scale (real)
support =$x in \left(-infty; +infty\right),$
pdf =$frac\left\{1\right\}\left\{2,b\right\} exp left\left(-fracThe inverse cumulative distribution function is given by$

:$F^\left\{-1\right\}\left(p\right) = mu - b,sgn\left(p-0.5\right),ln\left(1 - 2|p-0.5|\right).$

Generating Laplace variates

Given a random variate "U" drawn from the uniform distribution in the interval (-1/2, 1/2] , the variate

:$X=mu - b,sgn\left(U\right),ln\left(1 - 2|U|\right)$

has a Laplace distribution with parameters &mu; and "b". This follows from the inverse cumulative distribution function given above.

A Laplace(0, "b") variate can also be generated as the difference of two i.i.d. Exponential(1/"b") variates. Equivalently, a Laplace(0, 1) variate can be generated as the logarithm of the ratio of two iid uniform variates.

Parameter estimation

Given "N" independent and identically distributed samples "x1, x2, ..., xN", an estimator $hat\left\{mu\right\}$ of $mu$ is the sample median, [Cite journal
author = Robert M. Norton
title = The Double Exponential Distribution: Using Calculus to Find a Maximum Likelihood Estimator
journal = The American Statistician
volume = 38
issue = 2
month = May
year = 1984
pages = 135&ndash;136
url = http://www.jstor.org/pss/2683252
doi = 10.2307/2683252
] and the estimator of "b" is:$hat\left\{b\right\} = frac\left\{1\right\}\left\{N\right\} sum_\left\{i = 1\right\}^\left\{N\right\} |x_i - hat\left\{mu\right\}|,$using the maximum likelihood estimator.

Moments

:igg) sum_{k=0}^r igg [{frac{r!}{k! (r-k)! b^k mu^{(r-k)} k! {1 + (-1)^k}igg]

Related distributions

*If $X sim mathrm\left\{Laplace\right\}\left(0,b\right),$ then $|X| sim mathrm\left\{Exponential\right\}\left(b^\left\{-1\right\}\right),$ is an exponential distribution.
*If $X sim mathrm\left\{Exponential\right\}\left(lambda\right),$ and $Y sim mathrm\left\{Bernoulli\right\}\left(0.5\right),$ independent of $X,$, then $X\left(2Y-1\right) sim mathrm\left\{Laplace\right\} \left(0,lambda^\left\{-1\right\}\right) ,$ .
*If $X_1 sim mathrm\left\{Exponential\right\}\left(lambda_1\right),$ and $X_2 sim mathrm\left\{Exponential\right\}\left(lambda_2\right),$ independent of $X_1,$, then $lambda_1 X_1-lambda_2 X_2 sim mathrm\left\{Laplace\right\}left\left(0,1 ight\right),$

ee also

Log-Laplace distribution

References

Wikimedia Foundation. 2010.

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• Laplace operator — This article is about the mathematical operator. For the Laplace probability distribution, see Laplace distribution. For graph theoretical notion, see Laplacian matrix. Del Squared redirects here. For other uses, see Del Squared (disambiguation) …   Wikipedia

• Distribution Tempérée — Une distribution tempérée est une distribution T dont le domaine s étend à S, au sens où T peut alors être identifiée à un élément du dual topologique de S. L ensemble des distributions tempérées se note naturellement S . S est alors un sous… …   Wikipédia en Français

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