Boy's surface/Proofs

Property of R. Bryant's parametrization

If "z" is replaced by the negative reciprocal of its complex conjugate, $-\; \{1\; over\; z^star\},$ then the functions "g₁", "g₂", and "g₃" of "z" are left unchanged.

Proof

Let "g₁′" be obtained from "g₁" by substituting "z" with $-\; \{1\; over\; z^star\}.$ Then we obtain:$g\_1\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}\; left(\; \{-\; \{1\; over\; z^star\}\; left(\; 1\; -\; \{1\; over\; z^\{star\; 4\}\; \}\; ight)\; over\; \{1\; over\; z^\{star\; 6\; -\; sqrt\{5\}\; \{1\; over\; z^\{star\; 3\; -\; 1\}\; ight).$Multiply both numerator and denominator by $z^\{star\; 6\},$:$g\_1\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}\; left(\; \{-z^star\; (z^\{star\; 4\}\; -\; 1)\; over\; 1\; -\; sqrt\{5\}\; z^\{star\; 3\}\; -\; z^\{star\; 6\}\; \}\; ight).$Multiply both numerator and denominator by -1,:$g\_1\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}\; left(\; \{z^star\; (z^\{star\; 4\}\; -\; 1)\; over\; z^\{star\; 6\}\; +\; sqrt\{5\}\; z^\{star\; 3\}\; -\; 1\}\; ight).$

It is generally true for any complex number "z" and any integral power "n" that:$(z^star)^n\; =\; (z^n)^star,$therefore:$g\_1\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}\; left(\; \{\; z^star\; (z^4\; -\; 1)^star\; over\; (z^6\; +\; sqrt\{5\}\; z^3\; -\; 1)^star\; \}\; ight),$:$g\_1\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}\; left(\; -\; left(\; \{z\; (1\; -\; z^4)\; over\; z^6\; +\; sqrt\{5\}\; z^3\; -\; 1\}\; ight)^star\; ight)$therefore $g\_1\text{'}\; =\; g\_1$ since, for any complex number "z",:$mathrm\{Im\}\; (-z^star)\; =\; mathrm(z).$

Let "g₂′" be obtained from "g₂" by substituting "z" with $-\; \{1\; over\; z^star\}.$ Then we obtain:$g\_2\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}\; left(\; \{\; -\; \{1\; over\; z^star\}\; left(\; 1\; +\; \{1\; over\; z^\{star\; 4\; ight)\; over\; \{1\; over\; z^\{star\; 6\; -\; sqrt\{5\}\; \{1\; over\; z^\{star\; 3\; -\; 1\; \}\; ight),$::$=\; -\{3\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}\; left(\; \{\; z^star\; (z^\{star\; 4\}\; +\; 1)\; over\; z^\{star\; 6\}\; +\; sqrt\{5\}\; z^\{star\; 3\}\; -\; 1\; \}\; ight),$::$=\; -\{3\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}\; left(\; \{\; z^star\; (z^\{4\; star\}\; +\; 1)\; over\; z^\{6\; star\}\; +\; sqrt\{5\}\; z^\{3\; star\}\; -\; 1\; \}\; ight),$::$=\; -\{3\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}\; left(\; \{\; z^star\; (z^4\; +\; 1)^star\; over\; (z^6\; +\; sqrt\{5\}\; z^3\; -\; 1)^star\; \}\; ight),$::$=\; -\{3\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}\; left(\; left(\; \{\; z\; (z^4\; +\; 1)\; over\; z^6\; +\; sqrt\{5\}\; z^3\; -\; 1\}\; ight)^star\; ight),$therefore $g\_2\text{'}\; =\; g\_2$ since, for any complex number "z",:$mathrm\{Re\}\; (z^star)\; =\; mathrm\{Re\}\; (z).$

Let "g₃′" be obtained from "g₃" by substituting "z" with $-\; \{1\; over\; z^star\}.$ Then we obtain:$g\_3\text{'}\; =\; mathrm\{Im\}\; left(\; \{\; 1\; +\; \{1\; over\; z^\{star\; 6\; over\; \{1\; over\; z^\{star\; 6\; -\; sqrt\{5\}\; \{1\; over\; z^\{star\; 3\; -\; 1\}\; ight),$::$=\; mathrm\{Im\}\; left(\; \{\; z^\{star\; 6\}\; +\; 1\; over\; 1\; -\; sqrt\{5\}\; z^\{star\; 3\}\; -\; z^\{star\; 6\; ight),$::$=\; mathrm\{Im\}\; left(\; \{\; z^\{6\; star\}\; +\; 1\; over\; 1\; -\; sqrt\{5\}\; z^\{3\; star\}\; -\; z^\{6\; star\; ight),$::$=\; mathrm\{Im\}\; left(\; -\; \{\; (z^6\; +\; 1)^star\; over\; (z^6\; +\; sqrt\{5\}\; z^3\; -\; 1)^star\}\; ight),$::$=\; mathrm\{Im\}\; left(\; -\; left(\; \{\; z^6\; +\; 1\; over\; z^6\; +\; sqrt\{5\}\; z^3\; -\; 1\}\; ight)^star\; ight),$therefore $g\_3\text{'}\; =\; g\_3.$ Q.E.D.

ymmetry of the Boy's surface

Boy's surface has 3-fold symmetry. This means that it has an axis of discrete rotational symmetry: any 120° turn about this axis will leave the surface looking exactly the same. The Boy's surface can be cut into three mutually congruent pieces.

Proof

Two complex-algebraic identities will be used in this proof: let "U" and "V" be complex numbers, then:$mathrm\{Re\}(U\; V)\; =\; mathrm\{Re\}(U)\; mathrm\{Re\}(V)\; -\; mathrm\{Im\}(U)\; mathrm\{Im\}(V),\; ,!$:$mathrm\{Im\}(U\; V)\; =\; mathrm\{Re\}(U)\; mathrm\{Im\}(V)\; +\; mathrm\{Im\}(U)\; mathrm\{Re\}(V).\; ,!$

Given a point "P(z)" on the Boy's surface with complex parameter "z" inside the unit disk in the complex plane, we will show that rotating the parameter "z" 120° about the origin of the complex plane is equivalent to rotating the Boy's surface 120° about the "Z"-axis (still using R. Bryant's parametric equations given above).

Let:$z\text{'}\; =\; z\; e^\{i\; 2\; pi\; /\; 3\}\; ,!$be the rotation of parameter "z". Then the "raw" (unscaled) coordinates "g₁", "g₂", and "g₃" will be converted, respectively, to "g′₁", "g′₂", and "g′₃".

Substitute "z′" for "z" in "g₃(z)", resulting in:$g\_3\text{'}(z\text{'})\; =\; mathrm\{Im\}\; left(\; \{1\; +\; z\text{'}^6\; over\; z\text{'}^6\; +\; sqrt\{5\}\; z\text{'}^3\; -\; 1\}\; ight)\; -\; \{1\; over\; 2\},$:$g\_3\text{'}(z)\; =\; mathrm\{Im\}\; left(\; \{1\; +\; z^6\; e^\{i\; 4\; pi\}\; over\; z^6\; e^\{i\; 4\; pi\}\; +\; sqrt\{5\}\; z^\{i\; 2\; pi\}\; -\; 1\}\; ight)\; -\; \{1\; over\; 2\}.$Since $e^\{i\; 4\; pi\}\; =\; e^\{i\; 2\; pi\}\; =\; 1,$ it follows that:$g\_3\text{'}\; =\; mathrm\{Im\}left(\; \{1\; +\; z^6\; over\; z^6\; +\; sqrt\{5\}\; z^3\; -\; 1\}\; ight)\; -\; \{1\; over\; 2\}$therefore $g\_3\text{'}\; =\; g\_3.$ This means that the axis of rotational symmetry will be parallel to the "Z"-axis.

Plug in "z′" for "z" in "g₁(z)", resulting in:$g\_1\text{'}(z)\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}\; left(\; \{\; z\; e^\{i\; 2\; pi\; /\; 3\}\; (1\; -\; z^4\; e^\{i\; 8\; pi\; /\; 3\})\; over\; z^6\; e^\{i\; 4\; pi\}\; +\; sqrt\{5\}\; z^3\; e^\{i\; 2\; pi\}\; -\; 1\}\; ight).$Noticing that $e^\{i\; 8\; pi\; /\; 3\}\; =\; e^\{i\; 2\; pi\; /\; 3\},$:$g\_1\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}\; left(\; \{z\; e^\{i\; 2\; pi\; /\; 3\}\; (1\; -\; z^4\; e^\{i\; 2\; pi\; /\; 3\})\; over\; z^6\; +\; sqrt\{5\}\; z^3\; -\; 1\}\; ight).$Then, letting $e^\{i\; 4\; pi\; /\; 3\}\; =\; e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\}$ in the denominator yields:$g\_1\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}\; left(\; \{\; z\; (e^\{i\; 2\; pi\; /\; 3\}\; -\; z^4\; e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\})\; over\; z^6\; +\; sqrt\{5\}\; z^3\; -\; 1\}\; ight).$

Now, applying the complex-algebraic identity, and letting:$z"\; =\; \{z\; over\; z^6\; +\; sqrt\{5\}\; z^3\; -\; 1\}$we get:$g\_1\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; left\; [\; mathrm\{Im\}(z")\; mathrm\{Re\}(e^\{i\; 2\; pi\; /\; 3\}\; -\; z^4\; e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\})\; +\; mathrm\{Re\}(z")\; mathrm\{Im\}(e^\{i\; 2\; pi\; /\; 3\}\; -\; z^4\; e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\})\; ight]\; .$Both $mathrm\{Re\}$ and $mathrm\{Im\}$ are distributive with respect to addition, and:$mathrm\{Re\}(e^\{i\; heta\})\; =\; cos\; heta,\; ,!$:$mathrm\{Im\}(e^\{i\; heta\})\; =\; sin\; heta,\; ,!$due to Euler's formula, so that:$g\_1\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; left\; [\; mathrm\{Im\}(z")\; left(\; cos\; \{2\; pi\; over\; 3\}\; -\; mathrm\{Re\}(z^4\; e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\})\; ight)\; +\; mathrm\{Re\}(z")\; left(\; sin\; \{2\; pi\; over\; 3\}\; -\; mathrm\{Im\}(z^4\; e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\})\; ight)\; ight]\; .$Applying the complex-algebraic identities again, and simplifying $cos\; \{2\; pi\; over\; 3\}$ to -1/2 and $sin\; \{2\; pi\; over\; 3\}$ to $sqrt\{3\}\; /\; 2,$ produces:$g\_1\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; left\; [\; mathrm\{Im\}(z")\; left(\; -\{1\; over\; 2\}\; -\; [\; mathrm\{Re\}(z^4)\; mathrm\{Re\}(e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\})\; -\; mathrm\{Im\}(z^4)\; mathrm\{Im\}(e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\})\; ]\; ight)\; +\; mathrm\{Re\}(z")\; left(\; \{sqrt\{3\}\; over\; 2\}\; -\; [\; mathrm\{Im\}(z^4)\; mathrm\{Re\}(e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\})\; +\; mathrm\{Re\}(z^4)\; mathrm\{Im\}\; (e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\})]\; ight)\; ight]\; .$Simplify constants,:$g\_1\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; left\; [\; mathrm\{Im\}(z")\; left(\; -\{1\; over\; 2\}\; -\; left\; [\; -\{1\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}(z^4)\; +\; \{sqrt\{3\}\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}(z^4)\; ight]\; ight)\; +\; mathrm\{Re\}(z")\; left(\; \{sqrt\{3\}\; over\; 2\}\; -\; left\; [\; -\{1\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}(z^4)\; -\; \{sqrt\{3\}\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}(z^4)\; ight]\; ight)\; ight]\; ,$therefore:$g\_1\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; left\; [\; -\{1\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}(z")\; +\; \{1\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}(z")\; mathrm\{Re\}(z^4)\; -\; \{sqrt\{3\}\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}(z")\; mathrm\{Im\}(z^4)\; +\; \{sqrt\{3\}\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}(z")\; +\; \{1\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}(z")\; mathrm\{Im\}(z^4)\; +\; \{sqrt\{3\}\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}(z")\; mathrm\{Re\}(z^4)\; ight]\; .$

Applying the complex-algebraic identity to the original "g₁" yields:$g\_1\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; [\; mathrm\{Im\}(z")\; mathrm\{Re\}(1\; -\; z^4)\; +\; mathrm\{Re\}(z")\; mathrm\{Im\}(1\; -\; z^4)\; ]\; ,$:$g\_1\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; [\; mathrm\{Im\}(z")\; (1\; -\; mathrm\{Re\}(z^4))\; +\; mathrm\{Re\}(z")\; (-mathrm\{Im\}(z^4))]\; ,$:$g\_1\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; [\; mathrm\{Im\}(z")\; -\; mathrm\{Im\}(z")\; mathrm\{Re\}(z^4)\; -\; mathrm\{Re\}(z")\; mathrm\{Im\}(z^4)\; ]\; .$

Plug in "z′" for "z" in "g₂(z)", resulting in:$g\_2\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}\; left(\; \{z\; e^\{i\; 2\; pi\; /\; 3\}\; (1\; +\; z^4\; e^\{i\; 8\; pi\; /\; 3\})\; over\; z^6\; e^\{i\; 4\; pi\}\; +\; sqrt\{5\}\; z^3\; e^\{i\; 2\; pi\}\; -\; 1\}\; ight)\; .$Simplify the exponents,:$g\_2\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}\; left(\; \{z\; e^\{i\; 2\; pi\; /\; 3\}\; (1\; +\; z^4\; e^\{i\; 2\; pi\; /\; 3\})\; over\; z^6\; +\; sqrt\{5\}\; z^3\; -\; 1\}\; ight),$::$=\; -\{3\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}\; (\; z"\; (e^\{i\; 2\; pi\; /\; 3\}\; +\; z^4\; e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\})).$

Now apply the complex-algebraic identity to "g′₂", obtaining:$g\_2\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; left\; [\; mathrm\{Re\}(z")\; mathrm\{Re\}(e^\{i\; 2\; pi\; /\; 3\}\; +\; z^4\; e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\})\; -\; mathrm\{Im\}(z")\; mathrm\{Im\}(e^\{i\; 2\; pi\; /\; 3\}\; +\; z^4\; e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\})\; ight]\; .$Distribute the $mathrm\{Re\}$ with respect to addition, and simplify constants,:$g\_2\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; left\; [\; mathrm\{Re\}(z")\; left(-\{1\; over\; 2\}\; +\; mathrm\{Re\}(z^4\; e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\})\; ight)\; -\; mathrm\{Im\}(z")\; left(\{sqrt\{3\}\; over\; 2\}\; +\; mathrm\{Im\}(z^4\; e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\})\; ight)\; ight]\; .$Apply the complex-algebraic identities again,:$g\_2\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; left\; [\; mathrm\{Re\}(z")\; left(-\{1\; over\; 2\}\; +\; mathrm\{Re\}(z^4)\; mathrm\{Re\}(e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\})\; -\; mathrm\{Im\}(z^4)\; mathrm\{Im\}(e^\{-i\; 2\; pi\; over\; 3\})\; ight)\; -\; mathrm\{Im\}(z")\; left(\{sqrt\{3\}\; over\; 2\}\; +\; mathrm\{Im\}(z^4)\; mathrm\{Re\}(e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\})\; +\; mathrm\{Re\}(z^4)\; mathrm\{Im\}(e^\{-i\; 2\; pi\; /\; 3\})\; ight)\; ight]\; .$Simplify constants,:$g\_2\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; left\; [\; mathrm\{Re\}(z")\; left(\; -\{1\; over\; 2\}\; -\; \{1\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}(z^4)\; +\; \{sqrt\{3\}\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}(z^4)\; ight)\; -\; mathrm\{Im\}(z")\; left(\{sqrt\{3\}\; over\; 2\}\; -\; \{sqrt\{3\}\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}(z^4)\; -\; \{1\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}(z^4)\; ight)\; ight]\; ,$then distribute with respect to addition,:$g\_2\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; left\; [\; -\{1\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}(z")\; -\; \{1\; over\; 2\}mathrm\{Re\}(z")\; mathrm\{Re\}(z^4)\; +\; \{sqrt\{3\}over\; 2\}\; mathrm\{Re\}(z")\; mathrm\{Im\}(z^4)\; -\; \{sqrt\{3\}over\; 2\}\; mathrm\{Im\}(z")\; +\; \{sqrt\{3\}over\; 2\}\; mathrm\{Im\}(z")\; mathrm\{Re\}(z^4)\; +\; \{1\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}(z")\; mathrm\{Im\}(z^4)\; ight]\; .$

Applying the complex-algebraic identity to the original "g₂" yields:$g\_2\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; left(\; mathrm\{Re\}(z")\; mathrm\{Re\}(1\; +\; z^4)\; -\; mathrm\{Im\}(z")\; mathrm\{Im\}(1\; +\; z^4)\; ight),$:$g\_2\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; left\; [\; mathrm\{Re\}(z")\; (1\; +\; mathrm\{Re\}(z^4))\; -\; mathrm\{Im\}(z")\; mathrm\{Im\}(z^4)\; ight]\; ,$:$g\_2\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; left\; [\; mathrm\{Re\}(z")\; +\; mathrm\{Re\}(z")\; mathrm\{Re\}(z^4)\; -\; mathrm\{Im\}(z")\; mathrm\{Im\}(z^4)\; ight]\; .$

The raw coordinates of the pre-rotated point are:$g\_1\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; [\; mathrm\{Im\}(z")\; -\; mathrm\{Im\}(z")\; mathrm\{Re\}(z^4)\; -\; mathrm\{Re\}(z")\; mathrm\{Im\}(z^4)\; ]\; ,$:$g\_2\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; left\; [\; mathrm\{Re\}(z")\; +\; mathrm\{Re\}(z")\; mathrm\{Re\}(z^4)\; -\; mathrm\{Im\}(z")\; mathrm\{Im\}(z^4)\; ight]\; ,$and the raw coordinates of the post-rotated point are:$g\_1\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; left\; [\; -\{1\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}(z")\; +\; \{1\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}(z")\; mathrm\{Re\}(z^4)\; -\; \{sqrt\{3\}\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}(z")\; mathrm\{Im\}(z^4)\; +\; \{sqrt\{3\}\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}(z")\; +\; \{1\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}(z")\; mathrm\{Im\}(z^4)\; +\; \{sqrt\{3\}\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}(z")\; mathrm\{Re\}(z^4)\; ight]\; ,$:$g\_2\text{'}\; =\; -\{3\; over\; 2\}\; left\; [\; -\{1\; over\; 2\}\; mathrm\{Re\}(z")\; -\; \{1\; over\; 2\}mathrm\{Re\}(z")\; mathrm\{Re\}(z^4)\; +\; \{sqrt\{3\}over\; 2\}\; mathrm\{Re\}(z")\; mathrm\{Im\}(z^4)\; -\; \{sqrt\{3\}over\; 2\}\; mathrm\{Im\}(z")\; +\; \{sqrt\{3\}over\; 2\}\; mathrm\{Im\}(z")\; mathrm\{Re\}(z^4)\; +\; \{1\; over\; 2\}\; mathrm\{Im\}(z")\; mathrm\{Im\}(z^4)\; ight]\; .$Comparing these four coordinates we can verify that:$g\_1\text{'}\; =\; -\{1\; over\; 2\}\; g\_1\; +\; \{sqrt\{3\}\; over\; 2\}\; g\_2,$:$g\_2\text{'}\; =\; -\{sqrt\{3\}\; over\; 2\}\; g\_1\; -\{1\; over\; 2\}\; g\_2.$In matrix form, this can be expressed as:Therefore rotating "z" by 120° to "z′" on the complex plane is equivalent to rotating "P(z)" by -120° about the "Z"-axis to "P(z′)". This means that the Boy's surface has 3-fold symmetry, "quod erat demonstrandum".