Berry–Esséen theorem

Berry–Esséen theorem

The central limit theorem in probability theory and statistics states that under certain circumstances the sample mean, considered as a random quantity, becomes more normally distributed as the sample size is increased. The Berry–Esseen theorem, also known as the Berry–Esseen inequality, attempts to quantify the "rate" at which this convergence to normality takes place.

Statements of the theorem vary, as it was independently discovered by two mathematicians, Andrew C. Berry (in 1941) and Carl-Gustav Esseen (1942), who then, along with other authors, refined it repeatedly over subsequent decades.

One version, sacrificing generality somewhat for the sake of clarity, is the following:

:Let "X"1, "X"2, ..., be i.i.d. random variables with E("X"1) = 0, E("X"12) = &sigma;2 > 0, and E(|"X"1|3) = &rho; < infty. Also, let::Y_n = {X_1 + X_2 + ldots + X_n over n}:be the sample mean, with "F""n" the cdf of::{Y_n sqrt{n} over {sigma,:and &Phi; the cdf of the standard normal distribution. Then there exists a positive constant "C" such that for all "x" and "n",::left|F_n(x) - Phi(x) ight| le {C ho over sigma^3,sqrt{n.

That is: given a sequence of Independent identically-distributed random variables, each having mean zero and positive variance, if additionally the third absolute moment is finite, then the cumulative distribution functions of the standardized sample mean and the standard normal distribution differ (vertically, on a graph) by no more than the specified amount. Note that the rate of convergence is on the order of "n"−1/2.

Calculated values of the constant "C" have decreased markedly over the years, from 7.59 (Esseen's original bound) to 0.7975 in 1972 (by P. van Beeck). The best current bound is 0.7655 (by I. S. Shiganov in 1986).

ee also

*Chernoff's inequality
*Inequality
*List of inequalities
*List of mathematical theorems

External links

* Chen, Po-Ning (2002). [http://shannon.cm.nctu.edu.tw/html/paper/be02.pdf Asymptotic Refinement of the Berry-Esseen Constant] . A PDF file retrieved Mar. 9, 2004.
* Gut, Allan & Holst Lars. [http://www.stat.unipd.it/bernoulli/02a/bn_3.html Carl-Gustav Esseen] , retrieved Mar. 15, 2004.

References

* Durrett, Richard (1991). "Probability: Theory and Examples". Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole. ISBN 0-534-13206-5.
* Feller, William (1972). "An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume II" (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-25709-5.
* Manoukian, Edward B. (1986). "Modern Concepts and Theorems of Mathematical Statistics". New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96186-0.
* Serfling, Robert J. (1980). "Approximation Theorems of Mathematical Statistics". New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02403-1.


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Look at other dictionaries:

  • Satz von Berry-Esseen — Der Satz von Berry Esseen trifft Aussagen über die Güte der Konvergenz im Zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Dabei werden sowohl die Konvergenzgeschwindigkeit als auch eine numerische Abschätzung für die Annäherung an die… …   Deutsch Wikipedia

  • Central limit theorem — This figure demonstrates the central limit theorem. The sample means are generated using a random number generator, which draws numbers between 1 and 100 from a uniform probability distribution. It illustrates that increasing sample sizes result… …   Wikipedia

  • List of mathematics articles (B) — NOTOC B B spline B* algebra B* search algorithm B,C,K,W system BA model Ba space Babuška Lax Milgram theorem Baby Monster group Baby step giant step Babylonian mathematics Babylonian numerals Bach tensor Bach s algorithm Bachmann–Howard ordinal… …   Wikipedia

  • Theoreme de la limite centrale — Théorème de la limite centrale Pour les articles homonymes, voir TCL. Le théorème de la limite centrale (appelé plus correctement théorème central limite, sans e à central puisque c est le théorème qui est central) est un résultat sur la… …   Wikipédia en Français

  • Théorème central limite — Pour les articles homonymes, voir TCL. La loi normale, souvent appelée la « courbe en cloche » Le théorème central li …   Wikipédia en Français

  • Théorème de la limite centrale — Pour les articles homonymes, voir TCL. Le théorème de la limite centrale (appelé plus correctement théorème central limite, sans e à central puisque c est le théorème qui est central) est un résultat sur la convergence en probabilités d une suite …   Wikipédia en Français

  • Théorème de la limite centrée — Théorème de la limite centrale Pour les articles homonymes, voir TCL. Le théorème de la limite centrale (appelé plus correctement théorème central limite, sans e à central puisque c est le théorème qui est central) est un résultat sur la… …   Wikipédia en Français

  • Théorèmes centraux limites — Théorème de la limite centrale Pour les articles homonymes, voir TCL. Le théorème de la limite centrale (appelé plus correctement théorème central limite, sans e à central puisque c est le théorème qui est central) est un résultat sur la… …   Wikipédia en Français

  • Théorèmes limites (probabilités) — Théorème de la limite centrale Pour les articles homonymes, voir TCL. Le théorème de la limite centrale (appelé plus correctement théorème central limite, sans e à central puisque c est le théorème qui est central) est un résultat sur la… …   Wikipédia en Français

  • List of theorems — This is a list of theorems, by Wikipedia page. See also *list of fundamental theorems *list of lemmas *list of conjectures *list of inequalities *list of mathematical proofs *list of misnamed theorems *Existence theorem *Classification of finite… …   Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”