Jarque-Bera test

Jarque-Bera test

In statistics, the Jarque-Bera test is a goodness-of-fit measure of departure from normality, based on the sample kurtosis and skewness. The test statistic "JB" is defined as

:mathit{JB} = frac{n}{6} left( S^2 + frac{(K-3)^2}{4} ight),

where "n" is the number of observations (or degrees of freedom in general); "S" is the sample skewness, "K" is the sample kurtosis, defined as

:S = frac{ mu_3 }{ sigma^3 } = frac{ mu_3 }{ left( sigma^2 ight)^{3/2} } = frac{ frac{1}{n} sum_{i=1}^n left( x_i - ar{x} ight)^3}{ left( frac{1}{n} sum_{i=1}^n left( x_i - ar{x} ight)^2 ight)^{3/2

:K = frac{ mu_4 }{ sigma^4 } = frac{ mu_4 }{ left( sigma^2 ight)^{2} } = frac{frac{1}{n} sum_{i=1}^n left( x_i - ar{x} ight)^4}{left( frac{1}{n} sum_{i=1}^n left( x_i - ar{x} ight)^2 ight)^2}

where μ3 and μ4 are the third and fourth central moments, respectively, ar{x} is the sample mean, and σ2 is the second central moment, the variance. Therefore, this can be considered as a sort of portmanteau test, since the four lowest moments about the origin are used jointly for its calculation.

The statistic "JB" has an asymptotic chi-square distribution with two degrees of freedom and can be used to test the null hypothesis that the data are from a normal distribution. The null hypothesis is a joint hypothesis of the skewness being zero and the excess kurtosis being 0, since samples from a normal distribution have an expected skewness of 0 and an expected excess kurtosis of 0 (which is the same as a kurtosis of 3). As the definition of "JB" shows, any deviation from this increases the JB statistic.

References

*cite journal
first = Carlos M.
last = Jarque
authorlink =
coauthors = Anil K. Bera
year = 1980
month =
title = Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals
journal = Economics Letters
volume = 6
issue = 3
pages = 255–259
doi = 10.1016/0165-1765(80)90024-5
url =
*cite journal
first = Carlos M.
last = Jarque
authorlink =
coauthors = Anil K. Bera
year = 1981
month =
title = Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals: Monte Carlo evidence
journal = Economics Letters
volume = 7
issue = 4
pages = 313–318
doi = 10.1016/0165-1765(81)90035-5
url =
*cite book
first =
last = Judge
authorlink =
coauthors = et al.
year = 1988
title = Introduction and the Theory and Practice of Econometrics
edition = 3rd edn.
pages = 890–892

Implementations

* [http://www.alglib.net/statistics/hypothesistesting/jarqueberatest.php ALGLIB] includes implementation of the Jarque-Bera test in C++, C#, Delphi, Visual Basic, etc.
* R includes an implementation of the Jarque-Bera test, the function "jarque.bera.test" in library "tseries".
* MATLAB includes implementation of the Jarque-Bera test, the function "jbtest".


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