# Axiom S5

Axiom S5

Axiom S5 is the distinctive axiom of the S5 modal logic and states that if necessarily possibly "p", then possibly "p". It also states, perhaps less intuitively and more controversially, that if possibly necessarily "p", then necessarily "p". The use of S5 is to eliminate excessive qualifiers (or modal operators) to a proposition, and instead, to accept the final qualifier as the only significant qualifier. That is, S5 discounts all but the final "possibly" or "necessarily".

The axiom is given as either * Possibly P implies Necessarily Possibly p [$Diamond p o BoxDiamond p$] * Possibly Necessarily P implies Necessarily p [$DiamondBox p o Box p$] Both of these axioms are properly called axiom 5

Basic "Introduction to Modal Logic" books (for example Hughes and Cresswell's, or Brian Chellas') show how this leads in S5 to theorems that can remove all but the last modal operator in a modal stack and get something equivalent to just the last one.

* http://home.utah.edu/~nahaj/logic/structures/axioms/CMpLMp.html
* http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/

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