Table of limits

This is a table of limits for common functions. Note that "a" and "b" are constants with respect to "x".

Limits for general functions

:$mbox\{If\; \}lim\_\{x\; o\; c\}\; f(x)\; =\; L\_1\; mbox\{\; and\; \}lim\_\{x\; o\; c\}\; g(x)\; =\; L\_2\; mbox\{\; then:\}$

::$lim\_\{x\; o\; c\}\; ,\; [f(x)\; pm\; g(x)]\; =\; L\_1\; pm\; L\_2$

::$lim\_\{x\; o\; c\}\; ,\; [f(x)g(x)]\; =\; L\_1\; imes\; L\_2$

::$lim\_\{x\; o\; c\}\; frac\{f(x)\}\{g(x)\}\; =\; frac\{L\_1\}\{L\_2\}\; qquad\; mbox\{\; if\; \}\; L\_2\; e\; 0$

::$lim\_\{x\; o\; c\}\; ,\; f(x)^n\; =\; L\_1^n\; qquad\; mbox\{\; if\; \}n\; mbox\{\; is\; a\; positive\; integer\}$

::$lim\_\{x\; o\; c\}\; ,\; f(x)^\{1\; over\; n\}\; =\; L\_1^\{1\; over\; n\}\; qquad\; mbox\{\; if\; \}n\; mbox\{\; is\; a\; positive\; integer,\; and\; if\; \}\; n\; mbox\{\; is\; even,\; then\; \}\; L\_1\; >\; 0$

:$lim\_\{x\; o\; c\}\; frac\{f(x)\}\{g(x)\}\; =\; lim\_\{x\; o\; c\}\; frac\{f\text{'}(x)\}\{g\text{'}(x)\}\; qquad\; mbox\{\; if\; \}\; lim\_\{x\; o\; c\}\; f(x)\; =\; lim\_\{x\; o\; c\}\; g(x)\; =\; 0\; mbox\; \{\; or\; \}\; lim\_\{x\; o\; c\}\; |g(x)|\; =\; +infty$ (L'Hôpital's rule)

imple functions

:$lim\_\{x\; o\; c\}\; a\; =\; a$

:$lim\_\{x\; o\; c\}\; x\; =\; c$

:$lim\_\{x\; o\; c\}\; ax\; +\; b\; =\; ac\; +\; b$

:$lim\_\{x\; o\; c\}\; x^r\; =\; c^r\; qquad\; mbox\{\; if\; \}\; r\; mbox\{\; is\; a\; positive\; integer\}$

:$lim\_\{x\; o\; 0^+\}\; frac\{1\}\{x^r\}\; =\; +infty$

:

Logarithmic and exponential functions

:$mbox\{For\; \}\; a\; >\; 1:\; ,$

::$lim\_\{x\; o\; 0^+\}\; log\_a\; x\; =\; -infty$

::$lim\_\{x\; o\; infty\}\; log\_a\; x\; =\; infty$

::$lim\_\{x\; o\; -infty\}\; a^x\; =\; 0$

::$lim\_\{x\; o\; infty\}\; a^x\; =\; infty$

Trigonometric functions

:$lim\_\{x\; o\; a\}\; sin\; x\; =\; sin\; a$

:$lim\_\{x\; o\; a\}\; cos\; x\; =\; cos\; a$

:$lim\_\{x\; o\; 0\}\; frac\{sin\; x\}\{x\}\; =\; 1$

:$lim\_\{x\; o\; 0\}\; frac\{1-cos\; x\}\{x\}\; =\; 0$

:$lim\_\{x\; o\; 0\}\; frac\{1-cos\; x\}\{x^2\}\; =\; frac\{1\}\{2\}$

:$lim\_\{x\; o\; n^\{pm\; an\; (pi\; x\; +\; frac\{pi\}\{2\})\; =\; mpinfty\; qquad\; mbox\{\; for\; any\; integer\; \}\; n$

Near infinities

:$lim\_\{x\; oinfty\}N/x=0\; mbox\{\; for\; any\; real\; N\}$
:
:
:
:$lim\_\{x\; oinfty\}N^\{-x\}=lim\_\{x\; oinfty\}1/N^\{x\}=0\; mbox\{\; for\; any\; \}\; N\; >\; 1$
:
:$lim\_\{x\; oinfty\}sqrt\; [N]\; \{x\}=\; infty\; mbox\{\; for\; any\; \}\; N\; >\; 0$
:$lim\_\{x\; oinfty\}log\; x=infty$
:$lim\_\{x\; o0^+\}log\; x=-infty$