Gauss–Jordan elimination

Gauss–Jordan elimination

In linear algebra, Gauss–Jordan elimination is a version of Gaussian elimination that puts zeros both above and below each pivot element as it goes from the top row of the given matrix to the bottom. In other words, Gauss-Jordan elimination brings a matrix to reduced row echelon form, whereas Gaussian elimination takes it only as far as row echelon form. Every matrix has a reduced row echelon form, and this algorithm is guaranteed to produce it.

Gauss–Jordan elimination is considerably less efficient than Gaussian elimination with backsubstitution when solving a system of linear equations. However, it is well suited for calculating the matrix inverse.

It is named in honor of Carl Friedrich Gauss and Wilhelm Jordan.

Application to finding inverses

If Gauss–Jordan elimination is applied on a square matrix, it can be used to calculate the matrix's inverse. This can be done by augmenting the square matrix with the identity matrix of the same dimensions, and through the following matrix operations:: [ A I ] LongrightarrowA^{-1} [ A I ] Longrightarrow [ I A^{-1} ] .

If the original square matrix, A, is given by the following expression:: A =egin{bmatrix}2 & -1 & 0 \-1 & 2 & -1 \0 & -1 & 2end{bmatrix}.

Then, after augmenting by the identity, the following is obtained:: [ A I ] = egin{bmatrix}2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\-1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0\0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1end{bmatrix}.

By performing elementary row operations on the [ A I ] matrix until A reaches reduced row echelon form, the following is the final result:

: [ I A^{-1} ] = egin{bmatrix}1 & 0 & 0 & frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\0 & 1 & 0 & frac{1}{2} & 1 & frac{1}{2}\0 & 0 & 1 & frac{1}{4} & frac{1}{2} & frac{3}{4}end{bmatrix}.

The matrix augmentation can now be undone, which gives the following:: I =egin{bmatrix}1 & 0 & 0 \0 & 1 & 0 \0 & 0 & 1end{bmatrix}qquad A^{-1} =egin{bmatrix}frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & 1 & frac{1}{2}\frac{1}{4} & frac{1}{2} & frac{3}{4}end{bmatrix}.

A matrix is non-singular (meaning that it has an inverse matrix) iff the identity matrix can be obtained using only elementary row operations.

References

* Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. "Schaum's Outlines: Linear Algebra". Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69-80.
*

External links

* [http://users.powernet.co.uk/kienzle/octave/matcompat/scripts/linear-algebra/rref.m Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Matlab]
* [http://elonen.iki.fi/code/misc-notes/python-gaussj/index.html Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Python]
* [http://lipe.advant.com.br/unicenp/gauss-jordan.php An online tool solve nxm linear systems using Gauss-Jordan elimination (source-code and mobile version included), by Felipe Santos de Andrade]
* [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/MathH110/gji.pdf Algorithm for Gauss-Jordan elimination in Basic]
* [http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/GaussianJordanMod.html Module for Gauss-Jordan Elimination]
* [http://vivaldi.ucsd.edu:8080/~kcheng/ece155/hwsoln/Gaussian-Jordan.pdf Example of Gauss-Jordan Elimination "Step-by-Step"]


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Look at other dictionaries:

  • Elimination de Gauss-Jordan — Élimination de Gauss Jordan Pour les articles homonymes, voir pivot. En mathématiques, l élimination de Gauss Jordan, aussi appelée pivot de Gauss, nommée en hommage à Carl Friedrich Gauss et Wilhelm Jordan, est un algorithme de l algèbre… …   Wikipédia en Français

  • Élimination de gauss-jordan — Pour les articles homonymes, voir pivot. En mathématiques, l élimination de Gauss Jordan, aussi appelée pivot de Gauss, nommée en hommage à Carl Friedrich Gauss et Wilhelm Jordan, est un algorithme de l algèbre linéaire pour déterminer les… …   Wikipédia en Français

  • Élimination de Gauss-Jordan — Pour les articles homonymes, voir pivot. En mathématiques, l élimination de Gauss Jordan, aussi appelée pivot de Gauss, nommée en hommage à Carl Friedrich Gauss et Wilhelm Jordan, est un algorithme de l algèbre linéaire pour déterminer les… …   Wikipédia en Français

  • Eliminación de Gauss-Jordan — En matemáticas, la eliminación Gaussiana, eliminación de Gauss o eliminación de Gauss Jordan, llamadas así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, son algoritmos del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de… …   Wikipedia Español

  • Pivot (élimination de Gauss-Jordan) — Élimination de Gauss Jordan Pour les articles homonymes, voir pivot. En mathématiques, l élimination de Gauss Jordan, aussi appelée pivot de Gauss, nommée en hommage à Carl Friedrich Gauss et Wilhelm Jordan, est un algorithme de l algèbre… …   Wikipédia en Français

  • Méthode de Gauss-Jordan — Réduction de Jordan Pour les articles homonymes, voir Jordan. La réduction de Jordan est la traduction matricielle de la réduction des endomorphismes introduite par Jordan. Cette réduction est tellement employée, en particulier en analyse pour la …   Wikipédia en Français

  • Jordan (disambiguation) — Jordan is a country in the Middle East.Jordan may also refer to: Middle Eastern geography * Jordan, Tehran * Jordan River United States geography * Jordan, Indiana * Jordan, Iowa * Jordan, Minnesota, a city in Scott County * Jordan, Minneapolis,… …   Wikipedia

  • Gauss, Carl Friedrich — orig. Johann Friedrich Carl Gauss born April 30, 1777, Brunswick, Duchy of Brunswick died Feb. 23, 1855, Göttingen, Hanover German mathematician, astronomer, and physicist. Born to poor parents, he was a prodigy of astounding depth. By his early… …   Universalium

  • Elimination — Élimination Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom …   Wikipédia en Français

  • Élimination de Gauss — Carl Friedrich Gauss « Gauss » redirige ici. Pour les autres significations, voir Gauss (homonymie). Carl Friedrich Gauss …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”