N!-conjecture

N!-conjecture

In mathematics, the n! conjecture is the conjecture that the dimension of a certain bi-graded module of diagonal harmonics is n!. It was made by A. M. Garsia and proved by M. Haiman. It implies Macdonald's positivity conjecture about his Macdonald polynomials.

Formulation

The Macdonald polynomials

:"P"λ

are a two-parameter family of orthogonal polynomials indexed by a positive weight λ of a root system, introduced by Ian G. Macdonald (1987). They generalize several other families of orthogonal polynomials, such as Jack polynomials and Hall–Littlewood polynomials. They are known to have deep relationships with affine Hecke algebras and Hilbert schemes, which were used to prove several conjectures made by Macdonald about them.

In 1988, Macdonald (see [5] ) introduced a new basis for the space of symmetric functions, which specializes to many of the well-known bases for the symmetric functions, by suitable substitutions for the parameters "q" and "t".

In fact, we can obtain in this manner the Schur functions, the Hall-Littlewood symmetric functions, the Jack symmetric functions, the zonal symmetric functions, the zonal spherical functions, and the elementary and monomial symmetric functions.

The so called ("q","t")-Kostka polynomials are the coefficients of a resulting transition matrix. Macdonald conjectured that they are polynomials in "q" and "t", with non-negative integer coefficients.

The approach of Garsia and Haiman

It was Adriano Garsia's idea to construct an appropriate module in order to prove positivity (as was done in his previous joint work with Procesi on Schur positivity of Kostka-Foulkes polynomials).

In an attempt to prove Macdonald's conjecture, Garsia and Haiman (see [2] ) introduced the bi-graded module

: H_mu

of diagonal harmonics and conjectured that the (modified) Macdonald polynomials are the Frobenius image of the character generating function of H_mu, under the diagonal action of the symmetric group.

The proof of Macdonald's conjecture was then reduced to the n! conjecture; i.e., to prove that the dimension of H_mu is n!. In 2001, Haiman proved that the dimension is indeed n! (see [4] ). Thanks to this piece of work (Hilbert schemes played a key role in the solution) Haiman was named full professor in UC Berkeley.

This breakthrough led to the discovery of many hidden connections and new aspects of symmetric group representation theory, as well as combinatorial objects (e.g., insertion tableaux, Haglund's inversion numbers, the role of parking functions in representation theory etc. etc.).

References

* [1] A. M. Garsia and C. Procesi, On certain graded "S""n"-modules and the q-Kostka polynomials, "Adv. Math." 94 (1992), 82–138.

* [2] A. M. Garsia and M. Haiman, A graded repesentation model for the Macdonald polynomials, "Proc. Nat. Acad. Sci." 90 (1993), 3607–3610.

* [3] A. M. Garsia and M. Haiman, "Orbit Harmonics and Graded Representations, Research Monograph" to appear as part of the collection published by the Lab. de. Comb. et Informatique Math'ematique, edited by S. Brlek, U. du Qu'ebec 'a Montr'eal.

* [4] M. Haiman, Hilbert schemes, polygraphs, and the Macdonald positivity conjecture, J. Amer. Math. Soc. 14 (2001), 941–1006.

* [5] I. G. Macdonald, A new class of symmetric functions, Publ. I.R.M.A. Strasbourg, Actes 20"e" S'eminaire Lotharingien (1988), 131–171.

External links

* [http://bergeron.math.uqam.ca/conjecture_fact.html n! conjecture] by François Bergeron
* [http://www.math.ucsd.edu/~garsia/schur/ n! homepage] of Garsia


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Look at other dictionaries:

  • conjecture — [ kɔ̃ʒɛktyr ] n. f. • 1246; lat. conjectura 1 ♦ Opinion fondée sur des probabilités ou des apparences. ⇒ hypothèse, supposition. Parler de qqch. par conjecture. Conjecture sur l avenir. ⇒ prévision, pronostic. 2 ♦ (Nuance péj.) Opinion fondée sur …   Encyclopédie Universelle

  • Conjecture De Poincaré — La conjecture de Poincaré est, en mathématiques, une conjecture portant sur la caractérisation de la sphère à trois dimensions. Jusqu à l annonce de sa résolution par Grigori Perelman en 2003, il s agissait d un problème de topologie non résolu.… …   Wikipédia en Français

  • Conjecture de Poincare — Conjecture de Poincaré La conjecture de Poincaré est, en mathématiques, une conjecture portant sur la caractérisation de la sphère à trois dimensions. Jusqu à l annonce de sa résolution par Grigori Perelman en 2003, il s agissait d un problème de …   Wikipédia en Français

  • Conjecture de poincaré — La conjecture de Poincaré est, en mathématiques, une conjecture portant sur la caractérisation de la sphère à trois dimensions. Jusqu à l annonce de sa résolution par Grigori Perelman en 2003, il s agissait d un problème de topologie non résolu.… …   Wikipédia en Français

  • Conjecture De Goldbach — La conjecture de Goldbach stipule que tout nombre entier pair strictement supérieur à 2 peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers (le même nombre premier pouvant être utilisé plusieurs fois). C est l un des plus vieux problèmes non… …   Wikipédia en Français

  • Conjecture de goldbach — La conjecture de Goldbach stipule que tout nombre entier pair strictement supérieur à 2 peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers (le même nombre premier pouvant être utilisé plusieurs fois). C est l un des plus vieux problèmes non… …   Wikipédia en Français

  • Conjecture De Syracuse — En mathématiques, on appelle suite de Syracuse une suite d entiers naturels définie de la manière suivante : On part d un nombre entier plus grand que zéro ; s’il est pair, on le divise par 2 ; s’il est impair, on le multiplie par… …   Wikipédia en Français

  • Conjecture de Collatz — Conjecture de Syracuse En mathématiques, on appelle suite de Syracuse une suite d entiers naturels définie de la manière suivante : On part d un nombre entier plus grand que zéro ; s’il est pair, on le divise par 2 ; s’il est… …   Wikipédia en Français

  • Conjecture de syracuse — En mathématiques, on appelle suite de Syracuse une suite d entiers naturels définie de la manière suivante : On part d un nombre entier plus grand que zéro ; s’il est pair, on le divise par 2 ; s’il est impair, on le multiplie par… …   Wikipédia en Français

  • Conjecture De Birch Et Swinnerton-Dyer — Pour les articles homonymes, voir BSD (homonymie). En mathématiques, la conjecture de Birch et Swinnerton Dyer (BSD) relie le rang du groupe abélien de points sur un corps de nombres d une courbe elliptique E à l ordre du zéro de la fonction L… …   Wikipédia en Français

  • Conjecture de birch et swinnerton-dyer — Pour les articles homonymes, voir BSD (homonymie). En mathématiques, la conjecture de Birch et Swinnerton Dyer (BSD) relie le rang du groupe abélien de points sur un corps de nombres d une courbe elliptique E à l ordre du zéro de la fonction L… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”