Table of spherical harmonics

This is a table of orthonormalized spherical harmonics that employ the Condon-Shortley phase up to degree l=10. Some of these formulas give the "Cartesian" version. This assumes x, y, z, and r are related to $heta,$ and $varphi,$ through the usual spherical-to-Cartesian coordinate transformation::$x\; =\; r\; sin\; hetacosvarphi,$:$y\; =\; r\; sin\; hetasinvarphi,$:$z\; =\; r\; cos\; heta,$

= Spherical harmonics with "l" = 0 =

:$Y\_\{0\}^\{0\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 2\}sqrt\{1over\; pi\}$

= Spherical harmonics with "l" = 1 =

:$Y\_\{1\}^\{-1\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 2\}sqrt\{3over\; 2pi\}cdot\; e^\{-ivarphi\}cdotsin\; hetaquad=\{1over\; 2\}sqrt\{3over\; 2pi\}cdot\{(x-iy)over\; r\}$:$Y\_\{1\}^\{0\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 2\}sqrt\{3over\; pi\}cdotcos\; hetaquad=\{1over\; 2\}sqrt\{3over\; pi\}cdot\{zover\; r\}$:$Y\_\{1\}^\{1\}(\; heta,varphi)=\{-1over\; 2\}sqrt\{3over\; 2pi\}cdot\; e^\{ivarphi\}cdotsin\; hetaquad=\{-1over\; 2\}sqrt\{3over\; 2pi\}cdot\{(x+iy)over\; r\}$

= Spherical harmonics with "l" = 2 =

:$Y\_\{2\}^\{-2\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 4\}sqrt\{15over\; 2pi\}cdot\; e^\{-2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetaquad=\{1over\; 4\}sqrt\{15over\; 2pi\}cdot\{(x\; -\; iy)^2\; over\; r^\{2$

:$Y\_\{2\}^\{-1\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 2\}sqrt\{15over\; 2pi\}cdot\; e^\{-ivarphi\}cdotsin\; hetacdotcos\; hetaquad=\{1over\; 2\}sqrt\{15over\; 2pi\}cdot\{(x\; -\; iy)z\; over\; r^\{2$

:$Y\_\{2\}^\{0\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 4\}sqrt\{5over\; pi\}cdot(3cos^\{2\}\; heta-1)quad=\{1over\; 4\}sqrt\{5over\; pi\}cdot\{(-x^\{2\}-y^\{2\}+2z^\{2\})over\; r^\{2$

:$Y\_\{2\}^\{1\}(\; heta,varphi)=\{-1over\; 2\}sqrt\{15over\; 2pi\}cdot\; e^\{ivarphi\}cdotsin\; hetacdotcos\; hetaquad=\{-1over\; 2\}sqrt\{15over\; 2pi\}cdot\{(x\; +\; iy)z\; over\; r^\{2$

:$Y\_\{2\}^\{2\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 4\}sqrt\{15over\; 2pi\}cdot\; e^\{2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetaquad=\{1over\; 4\}sqrt\{15over\; 2pi\}cdot\{(x\; +\; iy)^2\; over\; r^\{2$

= Spherical harmonics with "l" = 3 =

:$Y\_\{3\}^\{-3\}(\; heta,varphi)=\; \{1over\; 8\}sqrt\{35over\; pi\}cdot\; e^\{-3ivarphi\}cdotsin^\{3\}\; hetaquad=\; \{1over\; 8\}sqrt\{35over\; pi\}cdot\{(x\; -\; iy)^\{3\}over\; r^\{3$

:$Y\_\{3\}^\{-2\}(\; heta,varphi)=\; \{1over\; 4\}sqrt\{105over\; 2pi\}cdot\; e^\{-2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetacdotcos\; hetaquad=\; \{1over\; 4\}sqrt\{105over\; 2pi\}cdot\{(x-\; iy)^2\; z\; over\; r^\{3$

:$Y\_\{3\}^\{-1\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 8\}sqrt\{21over\; pi\}cdot\; e^\{-ivarphi\}cdotsin\; hetacdot(5cos^\{2\}\; heta-1)quad=\{1over\; 8\}sqrt\{21over\; pi\}cdot\{(x\; -\; iy)(4z^2-\; x^2\; -\; y^2)over\; r^\{3$

:$Y\_\{3\}^\{0\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 4\}sqrt\{7over\; pi\}cdot(5cos^\{3\}\; heta-3cos\; heta)quad=\{1over\; 4\}sqrt\{7over\; pi\}cdot\{z(2z^2\; -\; 3x^2\; -\; 3y^2)over\; r^\{3$

:$Y\_\{3\}^\{1\}(\; heta,varphi)=\{-1over\; 8\}sqrt\{21over\; pi\}cdot\; e^\{ivarphi\}cdotsin\; hetacdot(5cos^\{2\}\; heta-1)quad=\{-1over\; 8\}sqrt\{21over\; pi\}cdot\{(x\; +\; iy)\; (4z^2\; -\; x^2\; -\; y^2)\; over\; r^\{3$

:$Y\_\{3\}^\{2\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 4\}sqrt\{105over\; 2pi\}cdot\; e^\{2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetacdotcos\; hetaquad=\{1over\; 4\}sqrt\{105over\; 2pi\}cdot\{(x\; +\; iy)^2\; z\; over\; r^\{3$

:$Y\_\{3\}^\{3\}(\; heta,varphi)=\{-1over\; 8\}sqrt\{35over\; pi\}cdot\; e^\{3ivarphi\}cdotsin^\{3\}\; hetaquad=\{-1over\; 8\}sqrt\{35over\; pi\}cdot\{(x\; +\; iy)^3over\; r^\{3$

= Spherical harmonics with "l" = 4 =

:$Y\_\{4\}^\{-4\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 16\}sqrt\{35over\; 2pi\}cdot\; e^\{-4ivarphi\}cdotsin^\{4\}\; heta=\; frac\{3\}\{16\}\; sqrt\{frac\{35\}\{2\; pi\; cdot\; frac\{(x\; -\; i\; y)^4\}\{r^4\}$:$Y\_\{4\}^\{-3\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 8\}sqrt\{35over\; pi\}cdot\; e^\{-3ivarphi\}cdotsin^\{3\}\; hetacdotcos\; heta=\; frac\{3\}\{8\}\; sqrt\{frac\{35\}\{pi\; cdot\; frac\{(x\; -\; i\; y)^3\; z\}\{r^4\}$:$Y\_\{4\}^\{-2\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 8\}sqrt\{5over\; 2pi\}cdot\; e^\{-2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetacdot(7cos^\{2\}\; heta-1)=\; frac\{3\}\{8\}\; sqrt\{frac\{5\}\{2\; pi\; cdot\; frac\{(x\; -\; i\; y)^2\; cdot\; (7\; z^2\; -\; r^2)\}\{r^4\}$:$Y\_\{4\}^\{-1\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 8\}sqrt\{5over\; pi\}cdot\; e^\{-ivarphi\}cdotsin\; hetacdot(7cos^\{3\}\; heta-3cos\; heta)=\; frac\{3\}\{8\}\; sqrt\{frac\{5\}\{pi\; cdot\; frac\{(x\; -\; i\; y)\; cdot\; z\; cdot\; (7\; z^2\; -\; 3\; r^2)\}\{r^4\}$:$Y\_\{4\}^\{0\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 16\}sqrt\{1over\; pi\}cdot(35cos^\{4\}\; heta-30cos^\{2\}\; heta+3)=\; frac\{3\}\{16\}\; sqrt\{frac\{1\}\{pi\; cdot\; frac\{(35\; z^4\; -\; 30\; z^2\; r^2\; +\; 3\; r^4)\}\{r^4\}$:$Y\_\{4\}^\{1\}(\; heta,varphi)=\{-3over\; 8\}sqrt\{5over\; pi\}cdot\; e^\{ivarphi\}cdotsin\; hetacdot(7cos^\{3\}\; heta-3cos\; heta)=\; frac\{-\; 3\}\{8\}\; sqrt\{frac\{5\}\{pi\; cdot\; frac\{(x\; +\; i\; y)\; cdot\; z\; cdot\; (7\; z^2\; -\; 3\; r^2)\}\{r^4\}$:$Y\_\{4\}^\{2\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 8\}sqrt\{5over\; 2pi\}cdot\; e^\{2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetacdot(7cos^\{2\}\; heta-1)=\; frac\{3\}\{8\}\; sqrt\{frac\{5\}\{2\; pi\; cdot\; frac\{(x\; +\; i\; y)^2\; cdot\; (7\; z^2\; -\; r^2)\}\{r^4\}$:$Y\_\{4\}^\{3\}(\; heta,varphi)=\{-3over\; 8\}sqrt\{35over\; pi\}cdot\; e^\{3ivarphi\}cdotsin^\{3\}\; hetacdotcos\; heta=\; frac\{-\; 3\}\{8\}\; sqrt\{frac\{35\}\{pi\; cdot\; frac\{(x\; +\; i\; y)^3\; z\}\{r^4\}$:$Y\_\{4\}^\{4\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 16\}sqrt\{35over\; 2pi\}cdot\; e^\{4ivarphi\}cdotsin^\{4\}\; heta=\; frac\{3\}\{16\}\; sqrt\{frac\{35\}\{2\; pi\; cdot\; frac\{(x\; +\; i\; y)^4\}\{r^4\}$

= Spherical harmonics with "l" = 5 =

:$Y\_\{5\}^\{-5\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 32\}sqrt\{77over\; pi\}cdot\; e^\{-5ivarphi\}cdotsin^\{5\}\; heta$:$Y\_\{5\}^\{-4\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 16\}sqrt\{385over\; 2pi\}cdot\; e^\{-4ivarphi\}cdotsin^\{4\}\; hetacdotcos\; heta$:$Y\_\{5\}^\{-3\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 32\}sqrt\{385over\; pi\}cdot\; e^\{-3ivarphi\}cdotsin^\{3\}\; hetacdot(9cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{5\}^\{-2\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 8\}sqrt\{1155over\; 2pi\}cdot\; e^\{-2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetacdot(3cos^\{3\}\; heta-1cos\; heta)$:$Y\_\{5\}^\{-1\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 16\}sqrt\{165over\; 2pi\}cdot\; e^\{-ivarphi\}cdotsin\; hetacdot(21cos^\{4\}\; heta-14cos^\{2\}\; heta+1)$:$Y\_\{5\}^\{0\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 16\}sqrt\{11over\; pi\}cdot(63cos^\{5\}\; heta-70cos^\{3\}\; heta+15cos\; heta)$:$Y\_\{5\}^\{1\}(\; heta,varphi)=\{-1over\; 16\}sqrt\{165over\; 2pi\}cdot\; e^\{ivarphi\}cdotsin\; hetacdot(21cos^\{4\}\; heta-14cos^\{2\}\; heta+1)$:$Y\_\{5\}^\{2\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 8\}sqrt\{1155over\; 2pi\}cdot\; e^\{2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetacdot(3cos^\{3\}\; heta-1cos\; heta)$:$Y\_\{5\}^\{3\}(\; heta,varphi)=\{-1over\; 32\}sqrt\{385over\; pi\}cdot\; e^\{3ivarphi\}cdotsin^\{3\}\; hetacdot(9cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{5\}^\{4\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 16\}sqrt\{385over\; 2pi\}cdot\; e^\{4ivarphi\}cdotsin^\{4\}\; hetacdotcos\; heta$:$Y\_\{5\}^\{5\}(\; heta,varphi)=\{-3over\; 32\}sqrt\{77over\; pi\}cdot\; e^\{5ivarphi\}cdotsin^\{5\}\; heta$

= Spherical harmonics with "l" = 6 =

:$Y\_\{6\}^\{-6\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 64\}sqrt\{3003over\; pi\}cdot\; e^\{-6ivarphi\}cdotsin^\{6\}\; heta$:$Y\_\{6\}^\{-5\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 32\}sqrt\{1001over\; pi\}cdot\; e^\{-5ivarphi\}cdotsin^\{5\}\; hetacdotcos\; heta$:$Y\_\{6\}^\{-4\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 32\}sqrt\{91over\; 2pi\}cdot\; e^\{-4ivarphi\}cdotsin^\{4\}\; hetacdot(11cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{6\}^\{-3\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 32\}sqrt\{1365over\; pi\}cdot\; e^\{-3ivarphi\}cdotsin^\{3\}\; hetacdot(11cos^\{3\}\; heta-3cos\; heta)$:$Y\_\{6\}^\{-2\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 64\}sqrt\{1365over\; pi\}cdot\; e^\{-2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetacdot(33cos^\{4\}\; heta-18cos^\{2\}\; heta+1)$:$Y\_\{6\}^\{-1\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 16\}sqrt\{273over\; 2pi\}cdot\; e^\{-ivarphi\}cdotsin\; hetacdot(33cos^\{5\}\; heta-30cos^\{3\}\; heta+5cos\; heta)$:$Y\_\{6\}^\{0\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 32\}sqrt\{13over\; pi\}cdot(231cos^\{6\}\; heta-315cos^\{4\}\; heta+105cos^\{2\}\; heta-5)$:$Y\_\{6\}^\{1\}(\; heta,varphi)=\{-1over\; 16\}sqrt\{273over\; 2pi\}cdot\; e^\{ivarphi\}cdotsin\; hetacdot(33cos^\{5\}\; heta-30cos^\{3\}\; heta+5cos\; heta)$:$Y\_\{6\}^\{2\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 64\}sqrt\{1365over\; pi\}cdot\; e^\{2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetacdot(33cos^\{4\}\; heta-18cos^\{2\}\; heta+1)$:$Y\_\{6\}^\{3\}(\; heta,varphi)=\{-1over\; 32\}sqrt\{1365over\; pi\}cdot\; e^\{3ivarphi\}cdotsin^\{3\}\; hetacdot(11cos^\{3\}\; heta-3cos\; heta)$:$Y\_\{6\}^\{4\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 32\}sqrt\{91over\; 2pi\}cdot\; e^\{4ivarphi\}cdotsin^\{4\}\; hetacdot(11cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{6\}^\{5\}(\; heta,varphi)=\{-3over\; 32\}sqrt\{1001over\; pi\}cdot\; e^\{5ivarphi\}cdotsin^\{5\}\; hetacdotcos\; heta$:$Y\_\{6\}^\{6\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 64\}sqrt\{3003over\; pi\}cdot\; e^\{6ivarphi\}cdotsin^\{6\}\; heta$

= Spherical harmonics with "l" = 7 =

:$Y\_\{7\}^\{-7\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 64\}sqrt\{715over\; 2pi\}cdot\; e^\{-7ivarphi\}cdotsin^\{7\}\; heta$:$Y\_\{7\}^\{-6\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 64\}sqrt\{5005over\; pi\}cdot\; e^\{-6ivarphi\}cdotsin^\{6\}\; hetacdotcos\; heta$:$Y\_\{7\}^\{-5\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 64\}sqrt\{385over\; 2pi\}cdot\; e^\{-5ivarphi\}cdotsin^\{5\}\; hetacdot(13cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{7\}^\{-4\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 32\}sqrt\{385over\; 2pi\}cdot\; e^\{-4ivarphi\}cdotsin^\{4\}\; hetacdot(13cos^\{3\}\; heta-3cos\; heta)$:$Y\_\{7\}^\{-3\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 64\}sqrt\{35over\; 2pi\}cdot\; e^\{-3ivarphi\}cdotsin^\{3\}\; hetacdot(143cos^\{4\}\; heta-66cos^\{2\}\; heta+3)$:$Y\_\{7\}^\{-2\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 64\}sqrt\{35over\; pi\}cdot\; e^\{-2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetacdot(143cos^\{5\}\; heta-110cos^\{3\}\; heta+15cos\; heta)$:$Y\_\{7\}^\{-1\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 64\}sqrt\{105over\; 2pi\}cdot\; e^\{-ivarphi\}cdotsin\; hetacdot(429cos^\{6\}\; heta-495cos^\{4\}\; heta+135cos^\{2\}\; heta-5)$:$Y\_\{7\}^\{0\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 32\}sqrt\{15over\; pi\}cdot(429cos^\{7\}\; heta-693cos^\{5\}\; heta+315cos^\{3\}\; heta-35cos\; heta)$:$Y\_\{7\}^\{1\}(\; heta,varphi)=\{-1over\; 64\}sqrt\{105over\; 2pi\}cdot\; e^\{ivarphi\}cdotsin\; hetacdot(429cos^\{6\}\; heta-495cos^\{4\}\; heta+135cos^\{2\}\; heta-5)$:$Y\_\{7\}^\{2\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 64\}sqrt\{35over\; pi\}cdot\; e^\{2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetacdot(143cos^\{5\}\; heta-110cos^\{3\}\; heta+15cos\; heta)$:$Y\_\{7\}^\{3\}(\; heta,varphi)=\{-3over\; 64\}sqrt\{35over\; 2pi\}cdot\; e^\{3ivarphi\}cdotsin^\{3\}\; hetacdot(143cos^\{4\}\; heta-66cos^\{2\}\; heta+3)$:$Y\_\{7\}^\{4\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 32\}sqrt\{385over\; 2pi\}cdot\; e^\{4ivarphi\}cdotsin^\{4\}\; hetacdot(13cos^\{3\}\; heta-3cos\; heta)$:$Y\_\{7\}^\{5\}(\; heta,varphi)=\{-3over\; 64\}sqrt\{385over\; 2pi\}cdot\; e^\{5ivarphi\}cdotsin^\{5\}\; hetacdot(13cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{7\}^\{6\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 64\}sqrt\{5005over\; pi\}cdot\; e^\{6ivarphi\}cdotsin^\{6\}\; hetacdotcos\; heta$:$Y\_\{7\}^\{7\}(\; heta,varphi)=\{-3over\; 64\}sqrt\{715over\; 2pi\}cdot\; e^\{7ivarphi\}cdotsin^\{7\}\; heta$

= Spherical harmonics with "l" = 8 =

:$Y\_\{8\}^\{-8\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 256\}sqrt\{12155over\; 2pi\}cdot\; e^\{-8ivarphi\}cdotsin^\{8\}\; heta$:$Y\_\{8\}^\{-7\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 64\}sqrt\{12155over\; 2pi\}cdot\; e^\{-7ivarphi\}cdotsin^\{7\}\; hetacdotcos\; heta$:$Y\_\{8\}^\{-6\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 128\}sqrt\{7293over\; pi\}cdot\; e^\{-6ivarphi\}cdotsin^\{6\}\; hetacdot(15cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{8\}^\{-5\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 64\}sqrt\{17017over\; 2pi\}cdot\; e^\{-5ivarphi\}cdotsin^\{5\}\; hetacdot(5cos^\{3\}\; heta-1cos\; heta)$:$Y\_\{8\}^\{-4\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 128\}sqrt\{1309over\; 2pi\}cdot\; e^\{-4ivarphi\}cdotsin^\{4\}\; hetacdot(65cos^\{4\}\; heta-26cos^\{2\}\; heta+1)$:$Y\_\{8\}^\{-3\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 64\}sqrt\{19635over\; 2pi\}cdot\; e^\{-3ivarphi\}cdotsin^\{3\}\; hetacdot(39cos^\{5\}\; heta-26cos^\{3\}\; heta+3cos\; heta)$:$Y\_\{8\}^\{-2\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 128\}sqrt\{595over\; pi\}cdot\; e^\{-2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetacdot(143cos^\{6\}\; heta-143cos^\{4\}\; heta+33cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{8\}^\{-1\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 64\}sqrt\{17over\; 2pi\}cdot\; e^\{-ivarphi\}cdotsin\; hetacdot(715cos^\{7\}\; heta-1001cos^\{5\}\; heta+385cos^\{3\}\; heta-35cos\; heta)$:$Y\_\{8\}^\{0\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 256\}sqrt\{17over\; pi\}cdot(6435cos^\{8\}\; heta-12012cos^\{6\}\; heta+6930cos^\{4\}\; heta-1260cos^\{2\}\; heta+35)$:$Y\_\{8\}^\{1\}(\; heta,varphi)=\{-3over\; 64\}sqrt\{17over\; 2pi\}cdot\; e^\{ivarphi\}cdotsin\; hetacdot(715cos^\{7\}\; heta-1001cos^\{5\}\; heta+385cos^\{3\}\; heta-35cos\; heta)$:$Y\_\{8\}^\{2\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 128\}sqrt\{595over\; pi\}cdot\; e^\{2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetacdot(143cos^\{6\}\; heta-143cos^\{4\}\; heta+33cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{8\}^\{3\}(\; heta,varphi)=\{-1over\; 64\}sqrt\{19635over\; 2pi\}cdot\; e^\{3ivarphi\}cdotsin^\{3\}\; hetacdot(39cos^\{5\}\; heta-26cos^\{3\}\; heta+3cos\; heta)$:$Y\_\{8\}^\{4\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 128\}sqrt\{1309over\; 2pi\}cdot\; e^\{4ivarphi\}cdotsin^\{4\}\; hetacdot(65cos^\{4\}\; heta-26cos^\{2\}\; heta+1)$:$Y\_\{8\}^\{5\}(\; heta,varphi)=\{-3over\; 64\}sqrt\{17017over\; 2pi\}cdot\; e^\{5ivarphi\}cdotsin^\{5\}\; hetacdot(5cos^\{3\}\; heta-1cos\; heta)$:$Y\_\{8\}^\{6\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 128\}sqrt\{7293over\; pi\}cdot\; e^\{6ivarphi\}cdotsin^\{6\}\; hetacdot(15cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{8\}^\{7\}(\; heta,varphi)=\{-3over\; 64\}sqrt\{12155over\; 2pi\}cdot\; e^\{7ivarphi\}cdotsin^\{7\}\; hetacdotcos\; heta$:$Y\_\{8\}^\{8\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 256\}sqrt\{12155over\; 2pi\}cdot\; e^\{8ivarphi\}cdotsin^\{8\}\; heta$

= Spherical harmonics with "l" = 9 =

:$Y\_\{9\}^\{-9\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 512\}sqrt\{230945over\; pi\}cdot\; e^\{-9ivarphi\}cdotsin^\{9\}\; heta$:$Y\_\{9\}^\{-8\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 256\}sqrt\{230945over\; 2pi\}cdot\; e^\{-8ivarphi\}cdotsin^\{8\}\; hetacdotcos\; heta$:$Y\_\{9\}^\{-7\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 512\}sqrt\{13585over\; pi\}cdot\; e^\{-7ivarphi\}cdotsin^\{7\}\; hetacdot(17cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{9\}^\{-6\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 128\}sqrt\{40755over\; pi\}cdot\; e^\{-6ivarphi\}cdotsin^\{6\}\; hetacdot(17cos^\{3\}\; heta-3cos\; heta)$:$Y\_\{9\}^\{-5\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 256\}sqrt\{2717over\; pi\}cdot\; e^\{-5ivarphi\}cdotsin^\{5\}\; hetacdot(85cos^\{4\}\; heta-30cos^\{2\}\; heta+1)$:$Y\_\{9\}^\{-4\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 128\}sqrt\{95095over\; 2pi\}cdot\; e^\{-4ivarphi\}cdotsin^\{4\}\; hetacdot(17cos^\{5\}\; heta-10cos^\{3\}\; heta+1cos\; heta)$:$Y\_\{9\}^\{-3\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 256\}sqrt\{21945over\; pi\}cdot\; e^\{-3ivarphi\}cdotsin^\{3\}\; hetacdot(221cos^\{6\}\; heta-195cos^\{4\}\; heta+39cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{9\}^\{-2\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 128\}sqrt\{1045over\; pi\}cdot\; e^\{-2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetacdot(221cos^\{7\}\; heta-273cos^\{5\}\; heta+91cos^\{3\}\; heta-7cos\; heta)$:$Y\_\{9\}^\{-1\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 256\}sqrt\{95over\; 2pi\}cdot\; e^\{-ivarphi\}cdotsin\; hetacdot(2431cos^\{8\}\; heta-4004cos^\{6\}\; heta+2002cos^\{4\}\; heta-308cos^\{2\}\; heta+7)$:$Y\_\{9\}^\{0\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 256\}sqrt\{19over\; pi\}cdot(12155cos^\{9\}\; heta-25740cos^\{7\}\; heta+18018cos^\{5\}\; heta-4620cos^\{3\}\; heta+315cos\; heta)$:$Y\_\{9\}^\{1\}(\; heta,varphi)=\{-3over\; 256\}sqrt\{95over\; 2pi\}cdot\; e^\{ivarphi\}cdotsin\; hetacdot(2431cos^\{8\}\; heta-4004cos^\{6\}\; heta+2002cos^\{4\}\; heta-308cos^\{2\}\; heta+7)$:$Y\_\{9\}^\{2\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 128\}sqrt\{1045over\; pi\}cdot\; e^\{2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetacdot(221cos^\{7\}\; heta-273cos^\{5\}\; heta+91cos^\{3\}\; heta-7cos\; heta)$:$Y\_\{9\}^\{3\}(\; heta,varphi)=\{-1over\; 256\}sqrt\{21945over\; pi\}cdot\; e^\{3ivarphi\}cdotsin^\{3\}\; hetacdot(221cos^\{6\}\; heta-195cos^\{4\}\; heta+39cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{9\}^\{4\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 128\}sqrt\{95095over\; 2pi\}cdot\; e^\{4ivarphi\}cdotsin^\{4\}\; hetacdot(17cos^\{5\}\; heta-10cos^\{3\}\; heta+1cos\; heta)$:$Y\_\{9\}^\{5\}(\; heta,varphi)=\{-3over\; 256\}sqrt\{2717over\; pi\}cdot\; e^\{5ivarphi\}cdotsin^\{5\}\; hetacdot(85cos^\{4\}\; heta-30cos^\{2\}\; heta+1)$:$Y\_\{9\}^\{6\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 128\}sqrt\{40755over\; pi\}cdot\; e^\{6ivarphi\}cdotsin^\{6\}\; hetacdot(17cos^\{3\}\; heta-3cos\; heta)$:$Y\_\{9\}^\{7\}(\; heta,varphi)=\{-3over\; 512\}sqrt\{13585over\; pi\}cdot\; e^\{7ivarphi\}cdotsin^\{7\}\; hetacdot(17cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{9\}^\{8\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 256\}sqrt\{230945over\; 2pi\}cdot\; e^\{8ivarphi\}cdotsin^\{8\}\; hetacdotcos\; heta$:$Y\_\{9\}^\{9\}(\; heta,varphi)=\{-1over\; 512\}sqrt\{230945over\; pi\}cdot\; e^\{9ivarphi\}cdotsin^\{9\}\; heta$

= Spherical harmonics with "l" = 10 =

:$Y\_\{10\}^\{-10\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 1024\}sqrt\{969969over\; pi\}cdot\; e^\{-10ivarphi\}cdotsin^\{10\}\; heta$:$Y\_\{10\}^\{-9\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 512\}sqrt\{4849845over\; pi\}cdot\; e^\{-9ivarphi\}cdotsin^\{9\}\; hetacdotcos\; heta$:$Y\_\{10\}^\{-8\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 512\}sqrt\{255255over\; 2pi\}cdot\; e^\{-8ivarphi\}cdotsin^\{8\}\; hetacdot(19cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{10\}^\{-7\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 512\}sqrt\{85085over\; pi\}cdot\; e^\{-7ivarphi\}cdotsin^\{7\}\; hetacdot(19cos^\{3\}\; heta-3cos\; heta)$:$Y\_\{10\}^\{-6\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 1024\}sqrt\{5005over\; pi\}cdot\; e^\{-6ivarphi\}cdotsin^\{6\}\; hetacdot(323cos^\{4\}\; heta-102cos^\{2\}\; heta+3)$:$Y\_\{10\}^\{-5\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 256\}sqrt\{1001over\; pi\}cdot\; e^\{-5ivarphi\}cdotsin^\{5\}\; hetacdot(323cos^\{5\}\; heta-170cos^\{3\}\; heta+15cos\; heta)$:$Y\_\{10\}^\{-4\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 256\}sqrt\{5005over\; 2pi\}cdot\; e^\{-4ivarphi\}cdotsin^\{4\}\; hetacdot(323cos^\{6\}\; heta-255cos^\{4\}\; heta+45cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{10\}^\{-3\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 256\}sqrt\{5005over\; pi\}cdot\; e^\{-3ivarphi\}cdotsin^\{3\}\; hetacdot(323cos^\{7\}\; heta-357cos^\{5\}\; heta+105cos^\{3\}\; heta-7cos\; heta)$:$Y\_\{10\}^\{-2\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 512\}sqrt\{385over\; 2pi\}cdot\; e^\{-2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetacdot(4199cos^\{8\}\; heta-6188cos^\{6\}\; heta+2730cos^\{4\}\; heta-364cos^\{2\}\; heta+7)$:$Y\_\{10\}^\{-1\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 256\}sqrt\{1155over\; 2pi\}cdot\; e^\{-ivarphi\}cdotsin\; hetacdot(4199cos^\{9\}\; heta-7956cos^\{7\}\; heta+4914cos^\{5\}\; heta-1092cos^\{3\}\; heta+63cos\; heta)$:$Y\_\{10\}^\{0\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 512\}sqrt\{21over\; pi\}cdot(46189cos^\{10\}\; heta-109395cos^\{8\}\; heta+90090cos^\{6\}\; heta-30030cos^\{4\}\; heta+3465cos^\{2\}\; heta-63)$:$Y\_\{10\}^\{1\}(\; heta,varphi)=\{-1over\; 256\}sqrt\{1155over\; 2pi\}cdot\; e^\{ivarphi\}cdotsin\; hetacdot(4199cos^\{9\}\; heta-7956cos^\{7\}\; heta+4914cos^\{5\}\; heta-1092cos^\{3\}\; heta+63cos\; heta)$:$Y\_\{10\}^\{2\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 512\}sqrt\{385over\; 2pi\}cdot\; e^\{2ivarphi\}cdotsin^\{2\}\; hetacdot(4199cos^\{8\}\; heta-6188cos^\{6\}\; heta+2730cos^\{4\}\; heta-364cos^\{2\}\; heta+7)$:$Y\_\{10\}^\{3\}(\; heta,varphi)=\{-3over\; 256\}sqrt\{5005over\; pi\}cdot\; e^\{3ivarphi\}cdotsin^\{3\}\; hetacdot(323cos^\{7\}\; heta-357cos^\{5\}\; heta+105cos^\{3\}\; heta-7cos\; heta)$:$Y\_\{10\}^\{4\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 256\}sqrt\{5005over\; 2pi\}cdot\; e^\{4ivarphi\}cdotsin^\{4\}\; hetacdot(323cos^\{6\}\; heta-255cos^\{4\}\; heta+45cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{10\}^\{5\}(\; heta,varphi)=\{-3over\; 256\}sqrt\{1001over\; pi\}cdot\; e^\{5ivarphi\}cdotsin^\{5\}\; hetacdot(323cos^\{5\}\; heta-170cos^\{3\}\; heta+15cos\; heta)$:$Y\_\{10\}^\{6\}(\; heta,varphi)=\{3over\; 1024\}sqrt\{5005over\; pi\}cdot\; e^\{6ivarphi\}cdotsin^\{6\}\; hetacdot(323cos^\{4\}\; heta-102cos^\{2\}\; heta+3)$:$Y\_\{10\}^\{7\}(\; heta,varphi)=\{-3over\; 512\}sqrt\{85085over\; pi\}cdot\; e^\{7ivarphi\}cdotsin^\{7\}\; hetacdot(19cos^\{3\}\; heta-3cos\; heta)$:$Y\_\{10\}^\{8\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 512\}sqrt\{255255over\; 2pi\}cdot\; e^\{8ivarphi\}cdotsin^\{8\}\; hetacdot(19cos^\{2\}\; heta-1)$:$Y\_\{10\}^\{9\}(\; heta,varphi)=\{-1over\; 512\}sqrt\{4849845over\; pi\}cdot\; e^\{9ivarphi\}cdotsin^\{9\}\; hetacdotcos\; heta$:$Y\_\{10\}^\{10\}(\; heta,varphi)=\{1over\; 1024\}sqrt\{969969over\; pi\}cdot\; e^\{10ivarphi\}cdotsin^\{10\}\; heta$

ee also

*Spherical harmonics